數學中的“任意”與“存在”

閻宜偉

(河南省許昌市建安區教師進修學校,河南 許昌 461100)

數學中的“任意”與“存在”

閻宜偉

(河南省許昌市建安區教師進修學校,河南 許昌 461100)

數學中有一類題目含有任意、存在字樣，很多學生對此類型題不知如何下手.本文對任意類即恒成立問題、存在性問題、任意與存在雙變量混在一起三種類型分別舉例說明解題思路及過程，希望能給大家啟發.

任意 存在 解題 策略

一、恒成立問題

A.(-∞，0] B.(-∞，1]

C.[-2，1] D.[-2，0]

分析本題是對任意x∈R不等式恒成立問題.考查二次函數、對數函數、分段函數等知識及考生的轉化能力和數形結合思想解答問題的能力.

易知函數f(x)=-x2+2x的圖象開口向下且零點為0和2，但由于x≤0，故只取y軸左側開口向下部分圖象.取絕對值后把圖象沿x軸對折上去(解析式為f(x)=x2-2x,x≤0)；當x>0時f(x)=ln(x+1)的圖象是函數f(x)=lnx的圖象向左平移1個單位長度后僅取y軸右側部分，由此f(x)圖象確定.由題意f(x)≥ax要想恒成立，只需f(x)圖象在直線y=ax上方即可.借助導數求出f(x)=x2-2x,x≤0在x=0處切線的斜率為-2，因此選D.

例2 已知函數f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(k∈R)，若f(x)≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍.

分析可采取分離參數構造函數求最值來處理.

恒成立問題常見的解法是利用轉化和化歸思想、分類討論思想、數形結合思想、分離變量構造函數法等去解決.

二、“存在性”問題

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題可以和數列、函數、不等式、立體幾何、解析幾何等知識聯系.解此類問題的一般思路是：假設存在、推理計算、得出結論，若能求出結果，就做出“存在”的判斷；若導出矛盾，就做出不存在的判斷.

分析先求出函數f(x)的最小值，然后令最小值等于0，建立關于a的方程，從而把問題轉化為方程解的存在性問題進而求解.

綜上，這樣的實數a不存在.

三、題目中同時出現兩個變量，且兩個變量以“任意(?)”和“存在(?)”形式出現

例4 已知函數f(x)=lnx-x+a,g(x)=lnx-ax,a∈R.若?x1,x2∈1,e，使f(x1)≤g′(x2)+a成立，其中e為自然對數的底數.求a的取值范圍.

∴當x∈0,1時f′(x)>0，f(x)單調遞增；當x∈1,+∞時，f′(x)<0，f(x)單調遞減.

∴1-e+a≤1，即a≤e.

分析注意本類型題是一個“?”，一個“?”，它不同于兩個都是“?”的情形，也就是說若本題條件“?x1∈0,2”改為“?x1∈0,2”時，解題思路為要使f(x1)≥g(x2)恒成立，保證f(x1)的最小值不小于g(x2)的最大值即可；而本題思路應該是讓f(x1)的最大值不小于g(x2)的最大值.

∴當x∈0,1時，f′(x)>0,f(x)單調遞增， 當x∈1,2時，f′(x)<0，f(x)單調遞減

∴在0,2上，f(x)max=f(1)=-2.

[1]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中課程標準試驗教科書( 必修)數學4(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

閻宜偉(1970-)，男，河南鄭州人，本科，講師，主要研究數學教學及課改新理念.

G632

A

1008-0333(2017)28-0022-02