多浮體鉸接薄板結構運動響應研究

王 科，張志強，劉 影

（大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室 工程力學系，遼寧大連116024）

多浮體鉸接薄板結構運動響應研究

王 科，張志強，劉 影

（大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室 工程力學系，遼寧大連116024）

應用Newman的廣義運動模態(tài)分解方法和拉格朗日乘子法，基于波浪輻射和繞射理論建立了鉸接多浮體結構水動力響應的運動方程，應用預修正快速傅里葉變換（pFFT）的邊界元方法對由15塊板組成的鉸接多浮體結構的運動響應進行了研究。數(shù)值結果表明該pFFT方法計算精度和計算速度均很高，可用于任意形狀和約束狀態(tài)的多體結構的水動力分析。板間距的改變對鉸接點處垂蕩和橫搖影響較大。

預修正快速傅里葉變換（pFFT）方法；波浪輻射和繞射；鉸接多浮體結構；垂蕩和橫搖

0 引 言

早期關于多浮體水動力方面的研究方法主要有特征值展開法[1]，多體繞射法[2]和邊界元方法[3]，上述研究由于當時計算條件有限，劃分的單元數(shù)量不大，物體形狀也都很簡單，而且考慮物體之間的相互作用時僅僅是將各自獨立運動的輻射勢簡單疊加，并不是真正意義上的相互影響運動。

真正解決多浮體相互影響運動的理論是由Newman[4]提出的廣義運動模態(tài)理論。這種廣義模態(tài)包含了多浮體的所有剛體模態(tài)，各種連接模態(tài)，彈性模態(tài)等。利用該方法，Leeamp;Newman[5]對鉸接5方箱系統(tǒng)水彈性問題展開了研究，討論了浮體剛度對結構運動響應以及鉸鏈剪切應力的影響。Sun，EatockTaylor和Choo[6]通過拉格朗日乘子法推導出鉸接多浮體系統(tǒng)的約束矩陣，并建立了鉸接多浮體系統(tǒng)的運動方程。滕斌，何廣華，李博寧等[7]通過比例邊界有限元方法分別對兩方箱以及三方箱結構的波浪繞射問題進行了研究。謝楠和郜煥秋[8]利用三維源匯分布法對波浪中自由漂浮的兩浮體水動力相互作用問題進行了研究。吳廣懷，沈慶，陳徐均等[9]利用格林函數(shù)法對兩浮體以及三浮體在波浪作用下的水動力系數(shù)問題進行了研究，分析了浮體—方箱系統(tǒng)以及雙方箱系統(tǒng)中兩浮體相互作用的附加質(zhì)量、阻尼系數(shù)。史琪琪，柏木正，楊建民等[11]采用高階邊界元方法和波浪交互理論研究了波浪交互理論在求解三維多浮體水動力問題中的適用性。吳必軍，胡城，鄭永紅等[12]通過匹配特征函數(shù)展開法對雙圓柱的波浪繞射和輻射問題進行了研究。

在以上關于單浮體以及多浮體系統(tǒng)水動力問題研究中，浮體個數(shù)大多為兩浮體或三浮體，所研究的結構形式主要有圓柱，方箱和船舶等等，采用的方法都是傳統(tǒng)邊界元方法。當浮體單元數(shù)目較多的時候，離散單元數(shù)目將會變得非常巨大，傳統(tǒng)邊界元方法不再適用。針對這一問題，廣大學者們相繼發(fā)展了多種快速算法，以便降低存儲需求和計算復雜度，并且都致力于加快迭代求解過程中矩陣向量積的計算。預修正快速傅里葉變換方法（pFFT）不改變格林函數(shù)的具體形式，可以用于任意格林函數(shù)問題的求解。因此在波浪與結構物相互作用的水動力問題計算中，pFFT方法更加方便和靈活。

本文以由15塊板組成的鉸接多浮體結構作為研究對象，利用預修正傅里葉變換（pFFT）方法對其在不同波浪作用下的運動響應進行研究。研究模型中薄板的長寬比較大，超強的幾何奇異性要求算法必須具有很高的計算精度。數(shù)值實驗表明本研究采用的pFFT方法對格林函數(shù)基本解含波動項的問題完全適用，計算精度高且計算速度快。文章第一章介紹了本研究所采用的數(shù)學模型和運動響應的計算方法，第二章為鉸接15薄板結構運動響應結果分析，第三章為結論與建議。

1 數(shù)學模型及基本公式

1.1 控制方程及邊界條件

圖1 多浮體計算模型Fig.1 Calculation sketch of multiple plates

計算模型如圖1所示，假定波浪中有N個做微幅簡諧振蕩運動的剛性浮體，空間固定的整體坐標系oxy原點位于無擾動的自由水面，x軸水平向右為正，y軸垂直向上為正。入射波浪沿x軸負向向左傳播。局部坐標系o1x1y1，o2x2y2，…，oNxNyN的原點位于各浮體重心處，且隨浮體一起運動。為結構濕表面，其中S1，S2，…，SN為各浮體濕表面，物面法線方向以指向流體內(nèi)部為正。

1.2 速度勢的分解

假定浮體做微幅簡諧振蕩運動，基于線性勢流理論，流場內(nèi)速度勢可表示為：

其中：Re｛｝表示取復數(shù)表達式的實部，ω為波浪圓頻率，t為時間，φ為與時間無關的空間復速度勢，滿足拉普拉斯方程。

依據(jù)運動線性疊加原理，空間復速度勢φ可以分解為入射勢φI、繞射勢φD和輻射勢φR之和：

波浪入射勢φI可表達為如下形式：

其中：K=ω2/g為波數(shù)，A0為波浪振幅。

對于流場中有N個浮體的多體問題[4]，輻射勢可以分解為如下形式：

其它浮體均固定不動時的單位速度輻射勢。輻射勢φj滿足的物面邊界條件為：

輻射勢φj定解問題的數(shù)學形式為：

其中：R為流場中某點離擾動源的距離，K為波數(shù)。

繞射勢φD也滿足方程（7）的控制方程，其滿足的物面邊界條件為：

1.3 邊界積分方程的建立

應用格林定理，可得求解φj和φD的邊界積分方程如下：

定義散射勢 φS=φI+φD：

本文采用新的邊界積分方程直接求解φS：

其中：

1.4 結構所受波浪力

求解出浮體的散射勢和輻射勢以后，即可得到任意浮體m所受波浪力為：

其中：F3i為散射波浪力，F(xiàn)2i為輻射波浪力。（14）式中對任意浮體m定義水動力系數(shù)為：

其中：aij為附加質(zhì)量系數(shù)，bij為阻尼系數(shù)。

1.5 邊界積分方程的離散及pFFT求解

將物面邊界S0離散為一系列微小單元，并假定各物理量在單元上呈線性分布。最終可將積分方程離散為如下形式：

式中：nb為物面節(jié)點個數(shù)。

對于多浮體的大規(guī)模邊界元計算問題，（16）式可通過預修正傅里葉變換方法[13-14]（pFFT）轉換成下式進行快速求解：

采用線性元進行離散時，pFFT的近場積分具有以下形式：

公式（18）中包含log r1和log r2項的系數(shù)可采用線性解析方法求得，IC項為正則項，其積分不含奇異性，可通過數(shù)值積分來計算。

本文通過線性單元對結構表面進行離散，并通過形心坐標來判斷物面單元與pFFT子正方形之間的從屬關系，能夠方便處理一個面元橫跨兩個子正方形的情形。另外，由于本文所采用的格林函數(shù)的特殊性，若子正方形k及其臨近子正方形l都位于自由水面上，則需要對log r1、log r2以及IC項都進行預修正，而其它情況只需要對log r進行預修正。

1.6 鉸接多浮體系統(tǒng)運動方程的建立

N個浮體的運動方程如下[6]：

假設浮體間采用剛性鉸接，則與鉸接點相連的兩浮體只有相對轉動，而沒有相對平移，連接點處應滿足位移連續(xù)性條件。約束方程可表示為：

根據(jù)（19）式和（20）式，應用拉格朗日乘子法，可得：

2 鉸接多薄板結構水動力分析

2.1 鉸接15浮板水動力分析

計算模型如圖1所示。15塊尺寸相同的薄板相互鉸接，浮于自由水面。x軸水平向右為正，y軸垂直向上為正，入射波浪從右向左傳播。單板長度B=0.4 m，板厚TT=0.005 m，入射波浪波高為0.01 m，考慮不同板間距TS對結構鉸接點處運動振幅的影響。

圖2-7為迎浪端鉸接點1，2，3在不同間距下垂蕩和橫搖振幅計算結果。通過結果可以看出，在長波作用下，各鉸接點垂蕩振幅為1，橫搖振幅為0。隨著相對板長KB/2的增加，垂蕩和橫搖結果曲線均呈先增加，之后振蕩增加的趨勢。相對板長KB/2較大時，波浪頻率的改變對鉸接點垂蕩和橫搖運動幅值影響較大，結果曲線變化劇烈。

當0＜KB/2＜0.8時，增加板間距會令各鉸接點垂蕩和橫搖振幅增加。在0.8＜KB/2＜1.2范圍內(nèi)垂蕩和橫搖振幅對板間距的改變較為敏感。對于鉸接點1而言，其最大垂蕩振幅為2.6，最大橫搖振幅為1.7，最大振幅對應板間距TS=0.15 m，相對板長KB/2=1.15；對于鉸接點2而言，其最大垂蕩振幅為2.45，最大橫搖振幅為1.58，最大振幅對應板間距TS=0.2 m，相對板長KB/2=1.1；對于鉸接點3而言，其最大垂蕩振幅為2.88，最大橫搖振幅為1.95；最大振幅對應板間距TS=0.2 m，相對板長KB/2=1.1。

鉸接點處的垂蕩和橫搖運動是由與其相鄰的兩塊薄板的垂蕩和橫搖運動共同決定的，板的垂蕩運動和橫搖運動在鉸接點處引起的位移可能互相疊加，也可能互相抵消。該特性會導致在相同波浪入射時，且較小間距情況下鉸接點運動振幅比間距較大情況下鉸接點運動振幅大的情況。例如對于鉸接點1，當KB/2=1.0時，間距TS=0.15 m的垂蕩和橫搖振幅要比TS=0.2 m的垂蕩和橫搖振幅大。

圖2 鉸接15浮板不同間距時鉸接點1垂蕩RAOFig.2 Heave RAO at hinge 1 with different TS

圖3 鉸接15浮板不同間距時鉸接點1橫搖RAOFig.3 Roll RAO at hinge 1 with different TS

圖4 鉸接15浮板不同間距時鉸接點2垂蕩RAOFig.4 Heave RAO at hinge 13 with different TS

圖5 鉸接15浮板不同間距時鉸接點2橫搖RAOFig.5 Roll RAO at hinge 2 with different TS

圖6 鉸接15浮板不同間距時鉸接點3垂蕩RAOFig.6 Heave RAO at hinge 3 with different TS

圖7 鉸接15浮板不同間距時鉸接點3橫搖RAOFig.7 Roll RAO at hinge 3 with different TS

圖8 鉸接15浮板不同間距時鉸接點12垂蕩RAO Fig.8 Heave RAO at hinge 12 with different TS

圖9 鉸接15浮板不同間距時鉸接點12橫搖RAOFig.9 Roll RAO at hinge 12 with different TS

圖10 鉸接15浮板不同間距時鉸接點13垂蕩RAOFig.10 Heave RAO at hinge 13 with different TS

圖11 鉸接15浮板不同間距時鉸接點13橫搖RAOFig.11 Roll RAO at hinge 13 with different TS

圖12 鉸接15浮板不同間距時鉸接點14垂蕩RAOFig.12 Heave RAO at hinge 14 with different TS

圖13 鉸接15浮板不同間距時鉸接點14橫搖RAOFig.13 Roll RAO at hinge 14 with different TS

圖8-13為背浪端鉸接點12，13，14在不同間距下垂蕩和橫搖振幅結果。通過結果可以看出，在整個計算范圍內(nèi)，隨著相對板長KB/2的增加，鉸接點垂蕩和橫搖都呈先增加后減小的趨勢。在0.4＜KB/2＜1.0范圍內(nèi)，增加板間距可令各鉸接點垂蕩和橫搖振幅增大。與迎浪端鉸接點相比，處于背浪端的鉸接點垂蕩和橫搖振幅的最大值比迎浪端小。鉸接點12最大垂蕩振幅為2.3，最大橫搖振幅為1.55，對應板間距TS=0.2 m，KB/2=0.98；鉸接點13最大垂蕩振幅為1.85，最大橫搖振幅為1.2，對應板間距TS=0.2 m，KB/2=0.95；鉸接點14最大垂蕩振幅為1.5，最大橫搖振幅為1.05，對應板間距TS=0.2 m，KB/2=0.83。另外在某些波浪頻率下，背浪端鉸接點的垂蕩和橫搖振幅出現(xiàn)0值。這是因為此時板的垂蕩和橫搖運動在鉸接點處相互抵消。因此，鉸接點處RAO為0，并不一定代表板不動。

當間距TS=0.1 m時，鉸接15薄板的迎浪端鉸接點1處最大垂蕩振幅為1.8，最大橫搖振幅為1.2，對應相對板長KB/2=1.05。對比TS=0.1 m時鉸接6薄板結果可以發(fā)現(xiàn)，當板的個數(shù)增加時，結構迎浪端鉸接點的最大運動振幅減小。在結構設計過程中，可通過增加板的個數(shù)來達到減小鉸接點處最大運動振幅的目的。無論鉸接6薄板還是鉸接15薄板，鉸接點處最大垂蕩和橫搖振幅都出現(xiàn)在KB/2較大的情況。因此鉸接多板結構應避免在KB/2較大的情況下使用。

3 結 論

本文應用預修正快速傅里葉變換方法對鉸接15薄板的水動力問題進行了分析，研究發(fā)現(xiàn)：

（1）在長波作用下，各鉸接點垂蕩振幅為1，橫搖振幅為0。隨著相對板長 的增加，垂蕩和橫搖振幅均呈先增加后減小的趨勢。

（2）對于鉸接15薄板結構而言，當間距TS=0.1 m時鉸接點1處最大垂蕩振幅為1.8，最大橫搖振幅為1.2，對應相對板長KB/2=1.05。增加鉸接板的個數(shù)可以減小各鉸接點最大垂蕩和最大橫搖振幅。

（3）對于鉸接多浮體薄板結構，鉸接點處的運動受其相鄰的薄板垂蕩和橫搖運動共同影響。通常情況下板間距越大，鉸接點處垂蕩和橫搖運動振幅越大。但是由于板的垂蕩和橫搖運動在鉸接點處可能疊加也可能抵消，較小間距時鉸接點運動幅度可能會比間距較大時鉸接點的運動幅度大。

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Study on motion response of floating hinged multi-plates

WANG Ke,ZHANG Zhi-qiang,LIU Ying
(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Department of Engineering Mechanics,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

Based on wave radiation and diffraction theory,the motion equations of hinged multi-bodies are established according to the Lagrangian multiplier method and the generalized mode expansion method proposed by Newman.The precorrected Fast Fourier Transform(pFFT)method is utilized to analyze the hydrodynamics of multi-bodies that consists of horizontal,rigid,thin plates with hinged connection.The RAOs of motion are discussed.Numerical results show that pFFT method is very accurate and can be used in the hydrodynamic analysis of complex multi-bodies with arbitrary shape and constraints.The changing of interval space between plates is critical for heave and roll of hinged points.

precorrected Fast Fourier Transform(pFFT)method;wave radiation and diffraction;multi-bodies;RAOs of motion;heave and roll

U661.4

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.006

1007-7294（2017）11-1365-09

2017-08-20

國家自然科學基金項目（51379037）；國家重點基礎研究發(fā)展計劃資助（2013CB036101）

王 科（1970-），男，副教授，E-mail：kwang@dlut.edu.cn；

張志強（1984-），男，博士研究生。