軟商空間及其運算性質

劉用麟，黃秀珠

（武夷學院 數學與計算機學院，福建 武夷山 354300）

軟商空間及其運算性質

劉用麟，黃秀珠

（武夷學院 數學與計算機學院，福建 武夷山 354300）

將軟集合理論應用到商向量空間中，給出了軟商空間的合理定義，并給出具體實例證明了軟商空間的存在性。 研究軟商空間的運算性質，如兩個軟商空間的擴展交、限制交和限制差分。最后，研究軟商空間的同態性質。

軟商空間；擴展交；限制交；限制差分；同態

1 引言

眾所周知，現實世界存在許多不準確，不完整或不完全可靠信息，統稱不確定信息。因此，在現實生的各個領域，人們需要處理大量的不確定信息。由于經典的數學方法不能有效地處理不確定信息，多年來，研究人員一直在探索科學地處理不確定性信息的有效途徑。1965年美國控制論專家Zadeh提出模糊集理論，它是處理不確定信息的一種數學方法。1982年，波蘭學者Pawlak提出了粗糙集理論，它是又一種刻劃不確定性信息的數學工具。另外概率理論也用來處理一些不確定性信息。但是，這些理論都有自己的困難和問題。Molodtsov[1]認為原因之一可能是這些理論的參數工具不足。 為了克服這些困難，1999年Molodtsov引進了軟集的概念作為一種新的處理不確定性信息的數學工具。他同時指出了軟集的若干可能應用方向。軟集理論提出后，一些學者從不同的角度對軟集合開展了廣泛深入的研究，取得了較大進展。Maji等[2]應用軟集理論于決策分析，Maji等[3]還研究了軟集理論的運算。 隨后，Ali等[4]指出了文獻[3]中所提出的交、并運算的一些問題，并給出了新的運算。Chen等[5]提出了參數約簡的一個新定義，并將這個定義與粗糙集理論中相關概念屬性約簡進行了比較。近年來，Aktas等[6]定義了軟群并給出了相關的性質，將軟集理論應用到群結構上去。從此，一些學者成功地將軟集合理論應用到各類代數系統上，如Feng等[7]提出了軟半環，Zhan等[8]提出軟 BL代數，Acar等[9]提出了軟環，Akram等[10-11]提出了軟李代數、軟K—代數等概念。本文也對軟代數理論作了一些研究[12-14]。已經證明軟代數具有與經典代數不一樣的性質。

本文將軟集合理論應用到商向量空間中，給出了軟商空間的合理定義，并用具體實例證明了軟商空間的存在性。研究軟商空間的運算性質，如兩個軟商空間的擴展交、限制交和限制差分。最后，研究軟商空間的同態性質。

2 預備知識

2.1 向量空間的定義及性質

定義2.1.1[15]令P是一個數域，P中的元素用小寫拉丁字母 a，b，c，···來表示。令 V 是一個非空集合，V中元素用小寫希臘字母α，β，γ，···來表示。把 V 中的元素叫做向量，而把P中的元素叫做數（標）量，如果下列條件被滿足，就稱V是P上的向量空間：

1)在V中定義了一個加法，對于V中任意兩個向量α，β，有唯一確定的向量與它們對應，這個向量叫做α 與 β的和，并且記作 α+β。即若 α∈ V，β∈ V，則（α，β）→ α+β∈ V。

2)有一個數量與向量的乘法，對于P中每一個數a和V中每一個向量有V中唯一確定的向量與它們對應，這個向量叫做a與α的積，并記作aα。即若a∈P，α∈ V，（a，α）→ aα∈ V。

3)向量的加法和數與向量的乘法滿足下列算律。

(1)α+β=β+α；

(2)α+β+γ=α+（β+γ）；

(3)在V中存在一個零向量，記作0，它具有下列性質：對于V中每一個向量α，都有0+α=α；

(4)對于V中每個向量α，在V中存在一個向量α'，使得 α'+α=0，這樣的 α'叫做 α的負向量；

(5)a（α+β）=aα+aβ；

(6)（a+b）α=aα+ba；

(7)（ab）α=a（bα）；

(8)1a=a。

定義2.1.2[15]設V是數域P上的一個向量空間，W是V的一個非空子集，若W對于V的加法與數乘作成一個向量空間，則稱W是V的一個子空間。

定理2.1.1[15]設W 是數域P上向量空間V的一個非空子集，如果W對于P的加法以及標量與向量的乘法是封閉的，那么W本身也作成P上一個向量空間。

定理2.1.2[15]若V1，V2是向量空間V的兩個子空間，那么它們的交V1∩V2也是V的子空間。

性質2.1.1[15]在向量空間V中有以下性質：

1)零元素是唯一的，任一元素的負元素是唯一的，a的負元素記為-a；

2)-（-a）=a；

3)0a=0，(-1)a=-a，λ0=0；

4)如果 λa=0，則 λ=0 或 a=0；

5)α（a-β）=αa-αβ，（α-b）a=αa-ba。

2.2 商空間的定義及性質

定義2.2.1[16]設數域P上的向量空間，W 是V的子空間表示V中關于子空間W的所有陪集作V 成的集合，即在集合V中引進加法和數乘運算：（α+W ）+（β+W ）=（a+β）+W ；k（α+W ）=kα+W ；k∈ P。

可以證明關于上面定義的加法和數乘運算作成數域P上的向量空間，稱之為向量空間關于子空間W的商向量空間，簡稱商空間，記為。

定理2.2.1[16]設V是n維線性空間，W 是它的r維子空間V/W，則商空間的維數為n-r。

定理2.2.2[16]設f是線性空間V到V'的同態映射，W 是 V 的子空間，則是 V'的射，是的子空間，則是 V 的子空間。

定理2.2.4[16]（第一同構定理）設f是線性空間V到V'的滿同態，W'是 V'的子空間，則 V/f-1（W'）?V'/W'。

定理2.2.5[16](同態基本定理)設V是一個線性空間，則V的任一商空間都是V的同態象。即線性空間V與它的每一個商空間V/W 同態。反之，若V'=f（V）是V的同態象，則V'?V/ker f。

定理2.2.6[16](第二同構定理)設W1，W2是線性空間 V 的子空間，則（W1+W2）/W2? W1/（W1∩ W2）。

2.3 軟集理論的定義及基本運算

定義2.3.1[1]設U是一個論域，E是參數集，A?E，P（U）是U的冪集。若F是A到P（U）的映射，則稱（F，A）為U上的一個軟集合。

定義 2.3.2[4]設（F，A）和（G，B）是 U 上的兩個軟集合，定義它們的擴展交為軟集合（H，C）。其中，C=A∪ B，且子空間。

定理2.2.3[16]設f是線性空間V到V'的同態映

記（F，A）∩E（G，B）=（H ，C）。

定義 2.3.3[4]設（F，A）和（G，B）是 U 上的兩個軟集合，且A∩B≠φ，

1)定義它們的限制交為軟集合（H，C），其中C=A∩ B，且? e∈ C，H （e）=F（e）∩ G（e）。記（F，A）∩△（G，B）=（H ，C）。

2)定義它們的限制并為軟集合（H，C），其中C=A∩ B，且? e∈ C，H （e）=F（e）∪ G （e），記（F，A）∪R（G，B）=（H ，C）。

3)定義它們的限制差分為軟集合 （H，C），其中C=A ∩ B，且? e∈ C，H （e）=F（e）G （e），記（F，A）∩D（G，B）=（H ，C）。

定義 2.3.4[4]對于兩個軟集合和（F，A）和（G，B），如果滿足下面兩個條件：

1）A? B；

2）? X∈ A，F（X）? H（X）。

則稱（F，A）是（G，B）是的軟子集，記為（F，A）? （H，B）。

3 軟商空間

3.1 軟商空間的定義

為了便于說明，本文中令X是數域P上一個商空間，A是一個非空集合。

定義3.1.1 設（F,A）是數域P上商空間X上的一個軟集，如果?X∈A，F（x）是X的一個子空間，則稱（F,A）是X上的一個軟商向量空間，簡稱軟商空間。

定義 3.1.2 設（F，A）和（H，B）是商空間 X 上的兩個軟商空間，如果滿足下列兩個條件：

1)B? A；

2)?X∈ B，H （x）是 F（x）的子空間。

則稱（H ，B）是（F，A）的軟商子空間，記為（H，B）＜（F，A）。

推論 3.1.1 設（F，A）和（H ，B）是商空間 X 上的兩個軟商空間，當H=F時，僅需滿足條件：B?A，則（H，B）是（F，A）的軟商子空間。

3.2 軟商空間的例子

例 3.2.1 設 α1，α2，α3，α4，α5∈ R5，W=L （α1，α2）,商空間 X=R5/W=L（α3+W ，α4+W ，α5+W ）。令

于是 F（0）=S0，F（1）=S1，F（2）=S2，F（3）=S3，F（4）=S4都是X的子空間，所以（F，A）是X上的軟商空間。此例說明了軟商空間是存在的。

例3.2.2 設M2（F）為數域P上的所有二階方陣所成的集合，關于矩陣的加法和數乘作成數域P上的向量空間是 M2（F）的子空間，商空間

于是 F（0）=S0，F（1）=S1，F（2）=S2，F（3）=S3，都是 X 的子空間，所以（F，A）是X上的軟商空間。

4 軟商空間的性質

4.1 軟商空間的擴展交

引理4.1.1 若A,B均為商空間X的子空間，則A∩B也是X的子空間。

證明：首先，根據 0∈A，0∈B 可知 0∈A∩ B，因此 A∩ B 是非空的。其次，若 α，β∈ A∩ B，即 α，β∈ A，且 α，β∈ B，則 α+β∈ A，α+β∈ B，于是 α+β∈ A∩ B。對α∈ A∩ B，k∈ P，即 α∈ A，α∈ B，那么 kα∈A，kα∈B，因此kα∈A∩B，所以A∩B也是X的子空間。

定理 4.1.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）是商空間 X 上的兩個軟商空間，則（F1，A1）∩E（F2，A2）也是商空間 X上的軟商空間。

證明：令（F，A ）=（F1，A1）∩E（F2，A2），其中 A=A1∪ A2，?x∈A,

因為（F1，A1）和（F2，A2）都是商空間 X 上的軟商空間，對? x∈ A，則 x∈ A2A1或 x∈ A1∩ A2三者必然成立一個，若 x∈ A2A1或 x∈A1A2則 F（x）=F1（x）或 F2（x），均為 X 的子空間。若 x∈ A1∩ A2，則 F（x）=F1（x）∩F2（x），由引理 4.1.1，F（x）也為 X 的子空間。 因此（F，A）是是X上的軟商空間。

4.2 軟商空間的限制交

定理 4.2.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）都是商空間 X上的軟商空間，且 A1∩ A2≠ φ，則（F1，A1）∩△（F2，A2）也是X上的軟商空間。

證明：令（F，A ）=（F1，A1）∩△（F2，A2），其中 A=A1∩A2且對? x∈ A ，F（x）=F1（x）∩ F2（x）。由于（F1，A1）和（F2，A2）都 X 上的軟商空間，所以對? x∈A1，有 F1（x）是 X 上的子空間；同理可得? x∈ A2，有 F2（x）是 X 上的子空間，因此，對?x∈A，有F（x）是X上的子空間，從而（F1，A1）∩△（F2，A2）是 X 上的軟商空間。

4.3 軟商空間的限制差分

定理 4.3.1 如果（F1，A1）和（F2，A2）都是商空 X 上的軟商空間，且 A1∩ A2≠ φ，則（F1，A1）∩△（F2，A2），則一定不是商空間X上的軟商空間。

證明：令（F，A ）=（F1，A1）∩△（F2，A2），其中 A=A1∩A2且對? x∈ A，F（x）=F1（x）F2（x）。由已知，對? x∈ A ，F1（x），F2（x）為商空間 X 的子空間，所以 0∈ F1（x），0∈F2（x），故 0? F（x）。于是，F（x）不為商空間 X 上的子空間，故（F1，A1）∩D（F2，A2）一定不是商空間 X 上的軟商空間。

4.4 軟商空間的同態性質

定義4.4.1 設X和Y是數域P上兩個商空間，f：A→B是一個映射，若滿足：

1)? α，β∈ A ，有 f（α+β）=f（α）+f（β），

2)? k∈ P，α∈ A 有 f（kα）=kf（α），

則稱f是商空間A到B的一個同態映射。若f是滿射，則稱f是商空間A到B的一個滿同態；若f是單射，則稱f是商空間A到B的一個單同態；若f是雙射，稱是商空間A到B的一個同構。

引理4.4.1 設X，Y是兩個商空間，如果f：X→Y為從X到Y的商空間同態：

1)若M 為X的子空間，則f（M）為Y的子空間；

2)若L為Y的子空間，則f-1（L）為X的子空間。

證明：設?y1，y2∈ f（M ），在 M 中存在兩個元素 x1，x2使得 y1=f（x1），y2=f（x2），則 y1+y2=f（x1）+f（x2）=f（x1+x2）。由M 為X的子空間可知x1+x2∈ M，從而y1+y2=f（x1+x2）∈ f（M ）；設? k∈ P，? y∈ f（M ），則 M 中存在 x，使得y=f（x），于是 ky=kf（x）=f（kx），由于 kx∈ M ，所以 ky=f（kx）∈f（M ）。因此 f（M ）為 Y 的子空間。同理可證，f-1（L）為X的子空間。

定理4.4.1 設X，Y是兩個商空間，如果f：X→Y為從X到Y的商空間同態，（F,A）是X上的軟商空間，則（f（F），A ）是 Y 上的軟商空間。

證明：首先由（f（F），A）的定義知（f（F），A）為 Y 上的軟集。由（F,A）是X上的軟商空間知，對任意的a∈A，F（a）是 X 的的子空間，由引理 4.4.1 可知，f（F（a））為 Y 的子空間，即對任意的 a∈A，f（F）（a）是 Y 的子空間，從而有（f（F），A ）是 Y 上的軟商空間。

定理4.4.2 設X，Y是兩個商空間，如果f：X→Y為從X到Y的商空間同態，（H，B）是Y上的軟商空間，則（F-1（H ），B）為 X 上的軟商空間。

證明：首先由（F-1（H ），B）的定義知（F-1（H ），B）為 X上的軟集。對任意的b∈B，由（H，B）是Y上的軟商空間知 H （b）是 Y 的子空間，因此由引理 4.4.1，f-1（H （b））是 X 的子空間，即對任意的 b∈ B，f-1（H）（b）是 X 的子空間，從而有（f-1（H ），B）為 X 上的軟商空間。

定理4.4.3 如果f：X→Y是一個商空間同態，（F，A）和（H，B）是商空間 X 上的軟商空間，（F，A）?（H，B），則（f（F），A）? （f（H ），B）。

證明：由（F，A）? （H，B）可知 A?B，故對? x∈ A，有 F（x）是 H （x）的子空間。又由 f是同態映射，有 f（F）（x）=f（F（x））是 f（H （x））=f（H ）（x）的子空間，由定理4.4.1 可知，（f（F），A）與（f（H ）B）為 Y 上的軟商空間，再根據定義 3.1.2 可得，（f（F），A）?（f（H ），B）。

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（責任編輯：華偉平）

Soft Quotient Space and Its Operational Properties

LIU Yonglin，HUANG Xiuzhu

（School ofMathematics and Computer Science,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 354300）

In this paper,the soft set theory is applied to the quotient vector spaces.The concept of softquotient vector spaces is introduced.We show the existence of soft quotient vector spaces by an example.And then we discuss the operation properties of soft quotient vector spaces,such as the extended intersection operation,the restricted intersection operation and the restricted difference operation of two soft quotient vector spaces,and so on.Finally,we research the homomorphism properties of softquotient vector spaces.

softquotient vector space;extended intersection;restricted intersection;restricted difference;homomorphism

O151.2

A

1674－2109(2017)09－0001－05

2017-08-10

福建省科技計劃引導性項目（2016Y0077）。

劉用麟（1959-），男，漢族，教授，博士，主要從事邏輯代數和軟代數研究。