一類含有“基本單元”的線型無限網絡電路習題的解法

后宗新

在物理競賽和理科實驗班的招生中，常會出現一類線型無限網絡電路，這類試題的解法有一定的技巧性，關鍵是找到電路中的“基本單元”，然后根據無限網絡“重復性”的特點，尋找等量關系進行求解。下面舉例說明：

例1 如圖1所示，電路是一個單邊線型無限網絡，每個電阻的阻值都是R，則A、B間的等效電阻RAB=__________。

解析：如答圖1所示，虛線方框內部分是一個個“基本單元”，由于電路是“無限”的，所以去掉一個基本單元或增加一個基本單元并不影響其等效電阻。

設去掉左邊第一個基本單元后，剩下電路的電阻為R余，則

RAB=2R+，且RAB=R余

解得：RAB=（+1）R

答案：（+1）R

例2 如圖2所示，電路是一個單邊的線型無限網絡，每個電阻的阻值都是r，則A、B之間的等效電阻RAB=__________。

解析：如答圖2所示，虛線方框內部分是一個個“基本單元”（注意與例1的不同），由于電路是“無限”的，所以去掉一個基本單元或增加一個基本單元并不影響其等效電阻。

設去掉左邊第一個基本單元后，剩下的電路電阻為R余，則

RAB=，且R余=RAB

解得：RAB=（-1）r

答案：（-1）r

例3 一個兩端延伸的無限網絡電路如圖3所示，其中每個電阻均為r，則a、b兩點之間的電阻Rab=______。

解析：此電路屬于兩端延伸的無限網絡，整個電路可以看作是由三個部分組成，如答圖3所示。因為左、右虛線方框內是一樣的無限網絡，所以它們的電阻相等。

設虛線方框內的電阻為Rx，則

RAB=

由例2可知，Rx=（-1）r

解得：Rab=r

答案：r

例4 如圖4所示，已知R1=R2=R3=…=Rn=Rn+1=Rm=Rm+1=，A、B間的電壓為U，則A、B間的電阻RAB=__________，Rm上消耗的電功率為_________。

解析：如答圖4所示，右端虛線方框內部分是電路的“基本單元”，用“逆推法”往左推進，根據串、并聯電路中電阻的特點，很容易得到RAB=。……