對高三數學二輪復習中習題教學的幾點反思

畢亮亮

摘要：高三二輪復習階段是對一輪的提煉與深化，著重對學生的思維的廣度與寬度就行訓練，在此階段習題教學是主力軍。在此階段一部分老師就認為是單純的習題教學，幾乎每天就是做題講題，沒完沒了，名副其實的題海戰術，把學生搞得很疲憊，教師也覺得沒多大的效果，最主要的是學生的成績和能力沒太大的提高。

關鍵詞：復習；數學；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）10-0018-02

下面就我的一點體會和反思與同仁探討。我認為在此階段對于習題的處理從兩方面入手會有些許效果。

一、變式訓練

在高三復習中，若對一些典型的例習題進行變式處理，如改變原題的條件、結論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學生在知識及方法的縱橫方向分別得以拓展和延伸，培養學生的發散思維。

如課本的復習參考題中有一題：

化簡sin50°（1+3tan10°）

（1）橫向探究（變換題目中的常數和設問）

新題1 是否存在常數m，使得等式sin50°（m+3tan10°）成立？如果存在，求出常數m的值（不含三角函數）；如果不存在，請說明理由。

本題解答較原題增加了拆角變換和方程思想方法的應用。

新題2 是否存在常數m，使得等式sin50°（1+m3tan10°）成立？如果存在，求出常數m的值（不含三角函數）；如果不存在，請說明理由。（解法與新題1相同）

根據新題1和新題2的解題過程，變換原題的形式結構，又得如下新題。

新題3 是否存在有理數m，使得2sin40°-msin10°cos10°=1成立？如果存在，求出常數m的值；如果不存在，請說明理由。

（2）縱向探究（變換題目中角的大小）

新題4 當角α等于多少時，有sinα（1+3tan10°）=1成立？證明你的結論。（可給出α的一個值或所有值）

本題可以先猜后證（設α=50°），也可以先算后答。

新題5 試給出α的一個值，使得sin50°（1+3tanα）成立，并證明你的結論。

上述對原題從不同角度進行引申拓展，這樣一題多變，使知識橫向聯系，縱向深入，拓寬了學生的思路，培養了學生的發散思維。

變式教學是變通性訓練的重要方式，既是有經常采用變式教學，引導學生從平常中去發現不平常，進行多角度、多因素、多層次、多條件、多用途、多途徑的探索。解決同一問題，辦法多了，思路開闊了，思維的發散高了，相應地思維的變通性也就得到了鍛煉。

2.類比聯想

類比與聯想是發散思維的翅膀。類比是提出新問題和作出新發現的主要源泉，是科學活動中"偉大的引路人"，是"人類認知的核心"。通過類比，人們可以提出假說，再經過驗證，最后達到真理性的認識。數學中許多定理、公式和法則都是用類比推理得出的。解題中為尋找問題線索，往往借助于類比的方法，如解立體幾何時與平面幾何作類比，解與"數"有關的問題時與"形"有關的問題作類比等等。聯想是培養創造性心智機能的一種思維活動，它不是一般的思考，而是思考的延伸，是"由此思彼"的思維跳躍。數學解題中常見的聯想有由數式聯想到圖形，由低次聯想到高次等等。

題目1 已知在平面直角坐標系中，o（0，0），M（1，1/2），N（0，1），Q（2，3），動點P（x，y）滿足不等式的最大值為_____。

解：由o（0，0），M（1，1/2），N（0，1），Q（2，3），得

0≤x+12y≤1，0≤y≤1

故本題轉化為在線性約束條件x+12y≥0x+12y≤10≤y≤1下，求線性目標函數的最大值問題。可作出可行域，得ωmax=4

說明：高考命題原則是在"知識交匯處命題"，此題是向量背景下的線性規劃問題，求解這類題目的關鍵是直譯向量語言，轉化為標準的線性規劃問題。

題目2 實系數方程f（x）=x2+ax+2b=0的一個根是在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，則f（2）的最大值為_____。

解：因為實系數方程f（x）=x2+ax+2b=0的一個根是在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，

因此f（0）>0f（1）<0f（2）>0即b>01+a+2b>02+a+b>0

不妨將a，b看作兩個變量，則表示的平面區域中可得f（2）max=2

說明：此題是函數與方程背景下的線性規劃問題，求解此類問題的關鍵是準確尋找線性約束條件，轉化為線性規劃問題求解。

題目3 某工廠生產甲乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果都均有A，B兩個等級，對每種產品，兩道工序的加工結果為A級時，產品為一等品，其余均為二等品。

（1）已知甲乙兩種產品每道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產的甲乙產品為一等品的概率P甲P乙。

（2）已知一件產品的利潤如表二所示，用ζ，η分別表示

一件甲乙產品的利潤，在（1）的條件下，求ζ，η的分布列Eζ，Eη。

（3）已知生產一件產品需用的工人數和資金額如表三所示，改工廠有工人40名，可用資金60萬元，設x，y分別表示生產甲乙產品的數量，在（2）的條件下，x，y為何值時，z=xEζ+yEη最大？最大值是多少？

解：（1），（2）略

（3）由題設得5x+10y≤608x+2y≤40x≥0y≥0

目標函數為z=xEζ+yEη=4.2x+2.1y

所以zmax=25.2

說明：此題是概率背景下的線性規劃問題，綜合考查概率、概率分布列、數學期望以及線性規劃問題，有效考查學生的發散思維。

數學是一個具有內在聯系的有機整體，各不同分支，不同部分，都是相互聯系、相互滲透的 ，解題方法、解題思路更是如此，因而，在高三復習階段要交給學生類比、聯想、轉化的方法，以提高學生分析問題、解決問題的能力，促進其知識的正向遷移和發散，培養其思維的廣闊性。

值得注意的是，上課前要精心備課，確定好訓練的例習題，設計好教學步驟，估計到學生思維的發散方向、深度和廣度。但是根據可接受性原則，不可拔苗助長，尤其對成績中、下層學生更是如此。同時，一定要結合高三復習內容，必須有助于學生的數學思維能力的提高，不要為追求新、奇、特而偏離新課標和教材提出的要求。endprint