視情維修條件下的多狀態控制單元可用性建模與分析

李志強， 徐廷學， 顧鈞元， 安進， 董琪

(海軍航空大學 兵器科學與技術系， 山東 煙臺 264001)

視情維修條件下的多狀態控制單元可用性建模與分析

李志強， 徐廷學， 顧鈞元， 安進， 董琪

(海軍航空大學 兵器科學與技術系， 山東 煙臺 264001)

針對傳統可靠性分析方法難以描述系統動態特性的問題，提出了一種基于多狀態動態貝葉斯網絡的視情維修可用性建模方法。在定義多狀態元件的基礎上，構建了基于Markov模型的視情維修狀態轉移模型，并引入了吸收狀態。通過構建多狀態動態貝葉斯網絡模型，確定了無維修、完全維修、不完全維修、視情維修和吸收狀態下的狀態轉移關系，并根據串聯和并聯邏輯關系對條件概率賦值。以某控制單元為例，構建動態故障樹模型、動態貝葉斯網絡模型，確定控制單元與元件在不同維修方式下的可用度變化規律，通過重要度分析發現了可靠性設計中的薄弱環節。仿真分析表明：視情維修的引入使得控制單元與元件相對于完全維修與不完全維修具有更高的可用度；吸收狀態的引入可以預測退化狀態可修元件的可用度變化趨勢，為維修換件提供理論指導。

兵器科學與技術； 動態貝葉斯網絡； 視情維修； 完全維修； 不完全維修； 動態故障樹； 重要度分析

0 引言

傳統的可靠性分析方法如故障樹分析、二元決策圖、故障模式影響分析等假設系統具有正常運行與故障失效二種狀態。隨著系統朝著復雜化、結構化等方向發展，冗余設計、優先門等邏輯事件的引入，傳統可靠性分析方法的局限性逐漸凸顯出來。Langseth等[1]提出了故障樹邏輯門向貝葉斯網絡節點轉化的方法，并研究了貝葉斯網絡在系統可靠性分析中的應用。貝葉斯網絡具有正向推理、反向推理、不確定關系表達等優勢[2-4]，并克服了傳統可靠性分析方法獨立性假設和二元狀態假設的缺陷。復雜系統的狀態隨著時間與運行條件發生改變，靜態可靠性分析方法主要用于初始時刻或者某一特定時刻的性能指標評估，難以描述性能特征參數的動態變化規律。在靜態貝葉斯網絡和隱Markov模型基礎上發展起來的動態貝葉斯網絡，避免了Markov建模的組合爆炸問題，也避免了動態故障樹求取最小割集的繁瑣程序[5-7]。周忠寶等[8-9]研究了動態故障樹向動態貝葉斯網絡的轉化方法，并應用于工程實踐中。

可用性[10]，即在規定的條件下，裝備在任意時刻t能夠正常工作的概率。可靠性和可用性的定義極為相似，實際上，可用性是可靠性、維修性和保障性的綜合反映。由于可用性同時考慮了元件的劣化過程和維修過程，Markov過程充分考慮了元件各狀態之間的轉移關系，劉航等[11]從維修時間和費用的角度出發，提出了基于Markov模型的組合式維修決策建模與優化方法；耿巖等[12]在考慮休眠因子的情況下，構建了基于Markov模型的兩部件系統可用度分析模型，預測備件需求與系統可用度。鑒于Markov模型存在組合爆炸、難以描述復雜系統可用度的問題，王少華等[13]從維修費用的角度出發，針對多部件系統隨機劣化過程建立了基于蒙特卡洛仿真的決策優化模型。蒙特卡洛仿真有效地解決了可用性分析中的數據缺乏問題，但是，對于具有成百上千部件的復雜系統，對部件難以逐一仿真。因此，樊冬明等[14]研究了基于動態貝葉斯網絡的GO法模型算法，Liu等[15]、Cai等[16]利用動態貝葉斯網絡分析了海底封井器的共因失效與考慮不完全維修的可用性問題。

針對人難以介入的裝備，以事后維修為主，當故障事件發生后采取完全維修或者不完全維修；對于時常處于監測條件下的裝備，可以從某一退化狀態開始采取視情維修(CBM)。本文在應用Markov過程進行系統狀態關系轉移建模的基礎上，構建動態貝葉斯網絡可用性分析模型，針對完全維修、非完全維修和CBM進行動態分析，并考慮具有吸收狀態的可用性模型。

1 基于Markov過程的多狀態元件狀態轉移模型

CBM立足于故障機理分析，根據不解體測試結果對出現“潛在故障”的裝備進行維修或者更換，從而避免“功能故障”的發生。CBM的優勢在于通過監測手段，掌握裝備的實時技術狀態，及時發現問題并采取相應的維修措施，從而避免嚴重故障的發生，進而有效地降低裝備的故障發生率，節約維修成本，減少維修工作量，解決定期維修過程中存在的維修不足與維修過剩問題。

1.1 多狀態元件定義

多狀態元件相對于傳統可靠性分析方法中的二狀態元件而言，元件除了正常運行與故障失效，具有介于正常運行與故障失效之間的中間退化狀態。根據劃分標準的不同，中間狀態可以是一個狀態，也可以是多個狀態。現假設某元件具有k個不同的技術狀態，由g={g1,g2,…,gk}表示(gk表示元件的初始狀態，g1表示元件的失效狀態，gi表示元件處于初始狀態與失效狀態之間的劣化狀態)，對于任意的i，gi+1≥gi. 對于可修元件，一旦發生故障立即安排技術人員進行修理，其壽命周期由運行時間和維修時間組成。一個元件的可接受狀態取決于元件當前的性能狀態與滿足工作需求必需的性能水平。令元件的狀態函數為G(t)∈g，性能水平函數為W(t),W(t)∈w={w1,w2,…,wm}(wi為不同的性能水平)，對于處于可接受狀態的元件，有：G(t)≥W(t).

1.2 多狀態元件CBM模型

多狀態元件的失效模式可以分為漸變劣化和突變劣化，相應的維修方式可以分為最小維修、非完好維修和換件維修，構建如圖1所示的狀態空間轉移模型。令失效率由λ表示，維修率由μ表示。假設起始時刻元件處于最佳狀態k，隨時間可能發生轉移到狀態k-1的漸變劣化，也可能發生轉移到狀態i(ii+1).

圖1 元件劣化與維修的狀態轉移模型Fig.1 State transition diagram of failed and repaired components

根據元件Markov狀態轉移模型[17-18]，建立如下的微分方程組：

(1)

式中：λi,j為元件從狀態i轉移到狀態j的劣化密度函數；μj,i為元件從狀態j轉移到狀態i的維修密度函數；pi(t)為元件處于狀態i的概率函數。

在初始時刻：

pk(0)=1,pk-1(0)=pk-2(0)=…=p1(0)=0.

(2)

(3)

1.3 考慮吸收狀態的維修模型

為了確定指定性能水平w(gii)到0狀態的轉移密度函數λm,0等于從狀態m到所有不可接受狀態(1,2,…,i)轉移密度函數之和，即

(4)

圖2 指定水平下元件狀態轉移圖Fig.2 State-transition diagram of component under certain demand rate

構建元件狀態轉移的可靠度函數為

(5)

初始條件與(2)式相同，則元件的可用度函數為

(6)

當元件所處技術狀態高于指定性能水平w時，元件為可用狀態，其可用度函數可以通過元件所處各個可用狀態的概率函數表征。以圖2為例，元件可用的技術狀態為i+1,i+2,…,k，對應的狀態概率函數為pi+1(t),pi+2(t),…,pk(t)，則元件此時的可用度函數為所處各可用技術狀態的概率之和，即如(6)式所示。

當t→∞時，元件將進入吸收狀態0，系統最終狀態概率為

pk=pk-1=…=pi+1=0,p0=1.

(7)

2 基于動態貝葉斯網絡的狀態轉移模型

2.1 動態貝葉斯網絡概述

動態貝葉斯網絡表示為(B1,B→)，B1為初始貝葉斯網絡，B→為包含時間片的貝葉斯網絡。相鄰兩個時間片各變量之間的條件分布[6, 19]表示為

(8)

假設各節點之間的有向邊位于同一個時間片內，或者位于相鄰的時間片上，動態貝葉斯網絡的結構參數不隨時間發生變化，即跨越多個時間片的概率分布[20]表示為

(9)

式中：X1:T={X1,X2,…,XT}.

2.2 動態貝葉斯網絡多狀態建模

故障樹的串聯結構、并聯結構可以直接轉換為貝葉斯網絡模型，在圖3中，圖3(a)為串聯結構動態貝葉斯網絡(DBN)模型，圖3(b)為并聯結構DBN模型。故障樹的每個基本事件轉化為貝葉斯網絡(BN)模型中對應的父節點，頂事件轉化為子節點。引入時間序列，靜態BN模型拓展成了DBN模型，同一時間片內變量之間的邏輯關系用實線箭頭表示，連續時間片上變量之間的邏輯關系用虛線箭頭表示。

在圖3串聯系統和并聯系統中，節點A和節點B通過時間片間的箭頭從時間t=1拓展到t=2. 由于節點A與節點B之間無箭頭，彼此之間無邏輯關系。節點A和節點B具有4個狀態，即良好(Perfect,P)、堪用(Useful,U)、擬故障(Psendo-fault,P-F)和故障(Fault,F)，子節點C具有兩個狀態，即正常(Normal)和故障(Fault)。狀態良好、正常表示系統無失效或者正常運行，故障表示系統處于完全失效狀態，堪用和擬故障分別表示1級退化狀態和2級退化狀態。假設父節點A和父節點B的失效率分別為λA=3×10-3，λB=2×10-3，維修率分別為μA=5×10-2，μB=8×10-2. 除了有不同的條件概率表，并聯系統與串聯系統有同樣的DBN結構，在給定同樣數據的情況下，相比于串聯系統，并聯系統具有更高的可靠度。

2.3 CBM動態貝葉斯網絡建模

對于多狀態退化系統，作出如下假設：

1)系統退化具有多個性能等級，在良好運行與故障失效之間取值；

2)系統可能在任一運行狀態發生劣化，包括漸變劣化和突變劣化；

3)所有的狀態轉移概率為常數，服從指數分布；

圖3 二元件串聯和并聯DBN模型Fig.3 DBN models of series system and parallel system with two components

4)通過一些參數可以觀測系統當前的退化狀況，監測時間忽略不計。

假設多狀態貝葉斯網絡的每個父節點具有良好、堪用、擬故障和故障4個狀態[21-22]。每個父節點在初始時刻都是正常運行的。隨著時間的推進，系統可能進入堪用狀態或者擬故障狀態，或者直接進入失效狀態。對于人難以介入或者必須停機檢查的裝備，當故障事件發生之后，采取維修措施使元件節點從故障狀態直接進入正常運行狀態，即完全維修；也可能從故障狀態進入到堪用、擬故障兩個退化狀態，即不完全維修。對于處于可觀測條件下的關鍵裝備，采取CBM方式，即當監測到系統發生系統退化時即可采取維修手段，從當前狀態恢復到初始狀態或者上一級退化狀態。圖4為4個狀態元件狀態轉移過程。相比于完全維修與不完全維修，CBM可以從狀態2恢復到狀態4或者狀態3，也可以從狀態3恢復到狀態4，而不是在元件發生故障失效之后再采取維修措施。

圖4 4個狀態元件狀態轉移圖Fig.4 State-transition diagram of a four-state component

假設當前為t時刻，兩個連續時間片間隔為Δt，則節點在連續時間片間無維修、完全維修、不完全維修和CBM的狀態轉移關系如表1～表4所示。

表1 無維修節點狀態間轉移關系

表2 完全維修節點狀態間轉移關系

表3 不完全維修節點狀態間轉移關系

表4 CBM節點狀態間轉移關系

在CBM方式下，不可忽略的一種特殊維修方式，即具有吸收狀態的CBM. 0狀態表示一個不可接受的失效狀態集，這一狀態可以直接設定為報廢狀態，從這一狀態到任一狀態的轉移都是不允許的。以表4為例，假設F為失效狀態集，只考慮從1級退化狀態U和2級退化狀態P-F向上1級或2級的維修狀態轉移，而不考慮從失效狀態到其余3個狀態級的維修狀態轉移。現假設P-F和F構成失效狀態集{P-F,F}，則節點狀態之間的轉移關系可表示為表5.

表5 以{P-F,F}為吸收狀態集的節點狀態間轉移關系

2.4 條件概率賦值

對一個具有n個父節點，每個父節點具有m個狀態的DBN模型，需要mn個獨立參數確定結構參數條件概率表(CPT)。當父節點較多時，難以對每個參數定量賦值，因此，為了簡化條件概率賦值問題，從串聯和并聯系統結構出發，根據元件各狀態條件失效率作定量計算。假設Y具有n個父節點X1,X2,…,Xn，每個父節點條件失效率為fj，對于串聯結構，n個元件串聯的不可靠度為

(10)

對于并聯系統，不可靠度為

(11)

假設圖3中由節點A和節點B構成的串聯和并聯系統中，條件失效率概率為：P(F=1|UA=1)=4%,P(F=1|P-FA=1)=6%,P(F=1|UB=1)=2%,P(F=1|P-FB=1)=5%,根據(10)式、(11)式即可確定串聯和并聯系統的CPT.

3 實例分析

3.1 控制單元動態故障樹模型構建

某控制單元由多種電子元器件、機械部件構成，結構復雜，故障模式多樣，在復雜運行條件下受多種環境應力影響，性能指標隨時間逐漸退化。實時的參數監測能夠判斷出控制單元性能指標合格與否，而預判性的可靠性分析可以為維修決策制定、維修資源優化提供方法指導。現以控制單元電源故障為例建立可靠性分析模型，以控制單元電源故障為頂事件建立如圖5所示的動態故障樹。頂事件(TE)失效由3個中間事件引起，即模塊sys1失效、模塊sys2失效和模塊sys3失效：模塊sys1包含一個靜態與門，由元件C1、元件C2組成；模塊sys2失效由元件C3元件失效、元件C6失效和模塊sys4失效構成；模塊sys4失效由熱儲備門(HSP)元件C4失效、元件C5失效引起；模塊sys3包含一個溫儲備門(WSP)，由元件C7和元件C8組成。

圖5 控制單元電源故障動態故障樹模型Fig.5 DFT model of control unit with power in failure

3.2 控制單元動態貝葉斯網絡模型構建

控制單元中各元件的失效率、維修率和失效條件概率如表6所示，假設元件C8的休眠因子為0.1.

表6 控制單元元件參數

為了簡化計算，對多狀態元件各狀態之間失效率與維修率作如下假設：

λ3,1=λ4,2，λ4,3=λ3,2=λ2,1，λ4,1+λ4,2+λ4,3=λ，λ4,1∶λ4,2∶λ4,3=1∶3∶6；μ1,3=μ2,4，μ1,2=μ2,3=μ3,4，μ1,2+μ1,3+μ1,4=μ，μ1,2∶μ1,3∶μ1,4=2∶3∶5.

根據動態故障樹向動態貝葉斯網絡轉化原理，構建控制單元的動態貝葉斯網絡模型，如圖6所示。以表6中的數據確定輸入值和條件概率值，取動態貝葉斯網絡時間片t=1時刻和t=2時刻，建立控制單元在CBM情況下的狀態轉移模型，如圖7所示。在初始時刻，各元件可靠度為100%，經歷時間片1和時間片2，各個不同狀態具有不同的退化概率值。

圖6 控制單元電源故障DBN模型Fig.6 DBN model of control unit with power in failure

圖7 時間片t=1到t=2的DBN模型Fig.7 DBN model of control unit for t=1 and t=2

3.3 模型驗證與可靠性分析

圖8 CBM下元件C1處于各狀態的概率曲線Fig.8 Probability curves of component C1 in all states under condition-based maintenance

在CBM情況下，當元件發生性能指標退化時，通過監測參數可以判定退化程度，如果元件退化到堪用狀態，采取維修措施可以使元件恢復到良好狀態；如果元件退化到擬故障狀態，采取維修措施可以使元件恢復到良好狀態或者堪用狀態；如果元件發生了失效，采取維修措施可以使元件恢復到可用狀態中的某一狀態，而進行換件維修可以使元件處于良好狀態。以元件C1為例，參考表6中的失效率、維修率，根據(1)式建立元件各狀態轉移關系(12)式，求解微分方程，確定元件隸屬于各個狀態的概率曲線，如圖8所示。利用構建的動態貝葉斯網絡模型獲得了同樣的仿真結果，這正好驗證了模型構建的準確性。在約第130周時，各狀態的概率值趨于平穩，以元件處于良好狀態概率最高。

(12)

建立控制單元在完全維修、非完全維修和CBM情況下的可用度曲線，如圖9所示。仿真1 000次，3種維修方式都具有很高的可用度，完全維修高于0.95，由于CBM可以對處于退化狀態中的元件采取維修措施，具有最高的可用度，符合實際情況。

圖9 控制單元完全維修、非完全維修和CBM可用度曲線Fig.9 Availability curves of control unit under perfect repair, imperfect repair and condition-based maintenance

對于某些可靠性要求高的元件，當參數指標低于一定閾值就不再滿足使用要求，并且無法通過維修使故障件回到可使用狀態，即作報廢處理。以元件C1為例，假設只有處于良好狀態、堪用狀態的元件滿足使用需求，擬故障狀態、故障狀態判為報廢處理狀態。根據(5)式建立狀態轉移關系(13)式，確定元件處于各狀態的概率曲線，如圖10所示。由于良好狀態隨時間不斷向堪用狀態和吸收狀態轉化，其概率曲線逐漸降低，處于堪用狀態的概率值在升高之后也隨之逐漸減低，處于吸收狀態的概率曲線一直上升，最終將達到1.

(13)

圖10 吸收狀態{P-F,F}下元件C1各狀態概率曲線Fig.10 Probability curves of component C1 in all states under absorbing set {P-F, F}

如圖11所示，以控制單元為例，{P-F,F}吸收狀態比無維修狀態下可用度曲線下降更快更明顯。如果以故障狀態為吸收狀態，可用度曲線下降相對緩和。由于存在中間狀態到良好狀態的CBM，系統可用度值在第1 000周之后仍然較高。

圖11 吸收狀態與無維修條件下控制單元可用度曲線Fig.11 Availability curves of control unit under absorbing sets and without repair

3.4 元件重要度分析

元件的重要度分析關鍵在于確定系統中的相對重要度高的元件，發現可靠性設計與分配中的薄弱環節。貝葉斯網絡中節點的重要度可分為結構重要度、概率重要度、關鍵重要度[23-24]：對控制單元進行結構重要度分析可知，節點C3和節點C6為串聯節點，具有相對較高的結構重要度。應用BayesiaLab軟件進行動態貝葉斯網絡仿真分析，節點C3和節點C6為子節點TE提供更多的交互信息，因此具有更高的相對重要度，如圖12所示。為確保控制單元具有足夠的可用度，以控制單元正常運行為證據進行反向推理，獲得各元件節點的可靠度指標，以節點C3和節點C6最高，分別為0.983 8和0.976 9. 因此，在進行控制單元設計時，應盡量選用具有高可靠性的節點C3和節點C6，并對使用中的元件C3和C6合理安排維修周期。

圖12 控制單元元件重要度分析Fig.12 Importance analysis of components in control unit

4 結論

針對可以進行CBM的裝備，在Markov模型的基礎上提出了基于動態貝葉斯網絡的可用性分析方法，通過建模與仿真分析，得到如下主要結論：

1)多狀態元件Markov模型的構建清晰地表示了元件各狀態之間的轉移關系，根據微分方程組Laplace-Stieltjes變換理論可以確定元件處于各個狀態的概率值。

2)多狀態動態貝葉斯網絡的構建簡化了多元件系統的可用性建模，元件各狀態之間的轉移關系根據轉移密度函數確定。

3)基于CBM的控制單元相對于完全維修與不完全維修具有更高的可用度，為關鍵、重要件維修決策制定提供了理論指導。

4)吸收狀態的引入可以預測退化狀態可修元件的可用度，相比于不可修元件，以故障失效為吸收狀態的元件具有更高的可用度，CBM方式保證了元件更長的使用壽命。

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AvailabilityModelingandAnalyzingofMulti-stateControlUnitunderCondition-basedMaintenance

LI Zhi-qiang, XU Ting-xue, GU Jun-yuan, AN Jin, DONG Qi

(Department of Ordnance Science and Technology, Naval Aeronautical University, Yantai 264001, Shandong, China)

A modeling method of control units under condition-based maintenance (CBM) based on multi-state dynamic Bayesian network (DBN)is proposed for describing the dynamic characteristics of system. After defining multi-state components, a state-transition model based on Markov model is established in considering CBM, and absorbing state is introduced. A multi-state DBN model is established to determine the state-transition relationships with non-repair, perfect repair, imperfect repair, CBM and absorbing state. And the conditional probability value is obtained according to the logic relationship of series system and parallel system. A control unit is taken for example. The dynamic fault tree (DFT) and DBN model are established to determine the reliability curves of control unit and its components under different repair modes. And the weak links of reliability design are found through importance analysis. The simulated results show that the control unit under CBM has higher availability than the perfectly and imperfectly repaired control units. The availability of repairable components with degradation states can be predicted, and a maintenance policy can be made accordingly.

ordnance science and technology; dynamic Bayesian network; conditional-based maintenance; perfect repair; imperfect repair; dynamic fault tree; importance analysis

E92

A

1000-1093(2017)11-2240-11

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.11.022

2017-04-17

國家自然科學基金項目(51605487)；中國博士后科學基金項目(2016M592965)；山東省自然科學基金項目(ZR2016FQ03)

李志強(1988—)，男，博士研究生。E-mail: 18663813941@163.com

徐廷學(1962—)，男，教授，博士生導師。E-mail: yt-xtx@163.com