一類最值問題的一般解法

【摘要】近幾年，高考題和高考模擬題經常出現求齊次式的最值，對于該類問題求解，學生往往一籌莫展，心存畏懼。事實上對于齊次式求最值可根據具體情況，會有多種解法：因式分解后換元，重要不等式法等。現代數學教學往往弱化特解特法，注重通解通法，這里著重介紹這類問題的最一般解法——極坐標代換法和判別式法，談談這兩種方法如何實施。

【關鍵詞】極坐標法 齊次式 判別式法

【中圖分類號】G634.605 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）45-0164-02

題目1： 已知x2-xy+y2=3，求x2+xy+y2的范圍。（2005年浙江高考題改編）

命題組提供了兩種解法：一種是構造二次方程用判別式法；另一種用重要不等式求解，但兩種解法都有一定的局限性，尤其不等式法往往只能確定上界或下界，另一個界常常要綜合考慮，費時費力。

我們注意到已知等式和目標式都是齊次式，對于齊次式求最值的一般性方法是極坐標代換法與代“1”轉化為純齊次式再減元，然后用判別式法求解。

解法1：令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入已知等式

？圯ρ2=■，

？圯x2+xy+y2=ρ2（1+sinθcosθ）=3■=3■（-■≤t=■sin2θ≤■）=3（-1-■）∈[1，9]

解法2：令x2+xy+y2=s？圯■=1？圯x2-xy+y2=3■？圯（■）■-■+1=■[（■）■+■+1]（令t=■）？圯（1-■）t2-（1+■）t+1-■=0？圯△=（1+■）■-4（1-■）■≥0？圯1≤s≤9 （1-■=0時？圯s=3顯然成立）

近年來在數學競賽和高考模擬中常常出現已知和目標都是齊次式求最值的情形。

題目2：已知x2-3xy+2y2=1，求x2+y2的最小值。（2012年遼寧初賽題）

命題組提供解法：由已知得 （x-y）（x-2y）=1？圯令x-y=t，得x-2y=■？圯x=2t-■，y=t-■？圯x2+y2=5t2+■-6≥2■-6

所以，最小值是2■-6。

這種解法局限于已知二次齊次式在有理數域上能分解，若已知齊次式只能在無理域或復數域分解或者分解式較繁，則該方法不是最佳選項，我們還是回歸到問題的一般解法上。

解法1： 令x=ρcosθ，y =ρsinθ？圯ρ2=■

？圯ρ2=■？圯x2+y2=■？圯最小值為■=2■-6

解法2：令x2+y2 =s？圯■（x2+y2）=1？圯x2-3xy+2y2=■（x2+y2）

兩邊同時除以y2 ，并令■=t？圯（1-■）t2-3t+2-■=0，（顯然s=1時，t=-■）s≠1時？圯△=9-4（1-■）（2-■）≥0？圯s≥-6+2■（s>0）

題目3：已知■-y2 =1，求3x2-2xy最小值。（2016年南通市二模試題）

命題組提供解法：一是將已知分解代換，與上述例題第一種解法類似，另一種解法則是利用雙曲線的參數方程轉化為三角式再求導求最值。但因式分解代換法較難想到，而雙曲線參數方程現教材不作要求，因而兩種解法均不具有一般性，我們依然采用上述一般解法。

解法1：令x=ρcosθ，y=ρsinθ？圯ρ2=■？圯3x2-2xy=

■=4■=4■（m=3-2tanθ）？圯3x2-2xy=■≥■=6+4■

解法2：令3x2-2xy=s？圯■（3x2-2xy）=1？圯x2-4y2=■（3x2-2xy）兩邊同時除以y2，并令■=t？圯（1-■）t2+■t-4=0，（顯然s=12時，t=6）s≠12時？圯△=■+16（1-■）≥0？圯s≥6+4■

數學教學的要旨是把解題的通解通法教給學生，特殊解法固然重要，但通解通法更能體現數學的本質和精髓。

以下兩題供大家踐行一下上面的解法：

1.已知a，b∈R+，■+■=1，求ab最大值。（2017年期初省揚中等六校聯考試題）（提示：令s=ab？圯■=1） 2.若4x2+xy+y2=1，求2x+y最大值。（2011年浙江高考題）

（提示：將目標平方后轉化）

作者簡介：

單和平 （1969.10-），副教授，研究方向：數學教學論，初等數學研究。endprint