探尋內在邏輯聯系 設計幾何概念教學
——蘇科版九年級上冊“圓”（第2課時）教學片段與反思

江蘇省蘇州市振華中學校 蔣 劍

探尋內在邏輯聯系 設計幾何概念教學
——蘇科版九年級上冊“圓”（第2課時）教學片段與反思

江蘇省蘇州市振華中學校 蔣 劍

筆者在不斷地探索、嘗試在課堂教學活動中，通過合理的教學設計，使學生經歷概念的形成過程，幫助他們掌握概念。本文系蘇科版九年級上冊的“圓”第2課時課例片段及反思。

一、教材內容簡析

蘇科版義務教育教科書數學九年級上冊第二章第1節“圓”共安排兩課時，第1課時主要學習圓的描述定義、集合定義，掌握圓的兩個基本要素——圓心與半徑，探索點與圓的位置關系；第2課時進一步學習圓的相關要素，包括：弧、弦、圓心角、同心圓、等圓、等弧等概念，為后面研究圓的有關性質做好鋪墊。由于本節課概念較多，學生掌握起來有一些困難，弧的認識與表示、等弧概念的理解是本節課的教學難點。

二、教學片段

師：今天我們一起繼續研究圓的知識。上節課我們學習了圓的定義，現在我們動手畫一個圓。

師：在畫圓的過程中揭示了圓的兩個基本要素，分別是什么？

生齊答：圓心和半徑。

【設計意圖】這一環節就是要讓學生在課堂中“動”起來，通過具體操作，實施“動手‘做’數學”來復習圓的概念，而不是以“提問”、“背誦”概念方式來復習。對數學教學來講，發展數學思想和積累基本活動經驗應該是數學教學的雙翼，而動手‘做’數學”是積累基本活動經驗的重要形式，也為研究后面的幾何概念做了鋪墊。

師：再畫一個圓，只改變一個要素，你發現和原來的圓有什么關系？

學生在本子上畫第二個圓。（記住要求：只改變一個要素）

師：我們發現改變圓的一個要素畫出的兩個圓有兩種情況，第一種是圓心不同，半徑相等的兩個圓。經過運動他們能？

生齊答：重合了。

師：定義：互相重合的兩個圓叫作等圓。

師：還有一種情況是圓心相同半徑不同的兩個圓，我們把它們叫作同心圓。

【設計意圖】為了讓學生進一步理解圓的兩個基本要素，以“兩要素”為定向設計活動，使他們領悟：改變任何一個基本要素，圖形就不唯一確定。這與研究全等三角形的思路是相通的，并讓學生體會到改變幾何對象的要素的方法，是研究幾何對象（幾何變換）的一般思路，從而也順其自然地引出了 “同心圓”、“等圓”兩個新概念。本環節通過觀察、實驗、比較的方法，采取“順應”的方法對新概念進行了新的建構。

師：在線段上（除端點外）任意取一點，可以把線段分成兩部分，那圓呢？

生：不行。

師：如果圓上有兩個點呢？

生：可以。

請一位同學上來演示。

師：這兩部分都叫作圓弧。定義：圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧。

師：弧怎么表示呢？聯想線段的表示方法。

…

【設計意圖】這個活動環節，通過類比線段的概念學習“弧”的概念。與線段類似，端點是弧的決定要素，同樣的，弧的表示也用端點表示，與字母順序無關。但是，由于圓的特殊性，圓具有“閉合性”，兩點把圓分成了兩部分——兩條弧。

師：弧與圓有什么關系？回憶剛才學的弧的概念。

生復述概念：圓上任意兩點間的部分。

師：所以,弧、圓之間的關系是什么？

生：兩個弧加起來就是一個圓。

師：弧與圓的關系就是部分與整體的關系。類比等圓的概念，我們可以聯想到什么？

生：等弧。

師：整體能重合，那么部分顯然也能重合，所以我們得到等弧的定義是什么？

生：能夠互相重合的弧。

師：這就是等弧的定義。

【設計意圖】等弧概念的理解是本節課學生學習的難點。書上給出；“等弧——能夠互相重合的弧叫等弧這個概念”比較突兀，學生不易掌握好。定量分析等弧，等弧由兩個要素決定：弧的度數（“彎曲程度”）與弧的長度。由于學生的認知水平，顯然在本節課上不適合教授這些知識。但如何理解等弧的概念，特別是“重合”兩字？筆者就想到，可以類比等圓的概念，其中還滲透了部分與整體思想。通過這樣的設計，等弧概念的引入就顯得“水到渠成”了。

師：已知點A、點B在圓O上。如果從點A出發，沿著“圓”走，要到達點B，路徑是什么？

生齊答：弧AB。

師：在平面上，你在點A處，怎么走，到B處路程最短？

生：直接連接AB。

師：就是作連接AB的線段。這條線段，它的兩個端點有什么特征？

生：在圓上。

師：定義：連接圓上任意兩點的線段稱為弦。大家想一想，弦實際上是什么？

生：線段。

師：這條線段的特征是它的兩個端點在圓上，所以它的表示方法是和線段相似的，表示為弦AB。其中，經過圓心的弦叫作直徑。

【設計意圖】弦與弧的不同，本質就是平面內兩點聯結的路徑不同。弦與弧也是我們在平面幾何領域里重點研究的最基本的兩類圖形——直線形和曲線形的“代表”，它們是矛盾的，可在圓里面又得到了高度的統一——它們是相互對應的。

師：現在有一塊圓形的披薩餅，有三個人一起分享。怎樣動手切，比較合理？

師：大家基本都完成了。有的同學比較細致，把字母、角度都標出來了。

師：我們現在切出一塊，就是需要“切出”一個角。有同學算出這個角是120度。既然是“角”，那它的頂點在哪里？

生齊答：圓心。

師：定義：頂點在圓心的角，我們把它稱為圓心角。圖中，∠AOB就是圓心角。

師：我們日常生活中還能碰到類似的例子，從中找到圓心角嗎？

生：傘…

【設計意圖】通過“切披薩”這個日常生活中常見的問題來引出圓心角的概念，體現數學來源于生活，又應用于生活。在學生畫圓心角的過程中，也揭示了圓心角的大小與披薩切塊大小之間的關系。圓心角的大小實際也刻畫了弧的“彎曲程度”。

三、課后反思

圓是平面幾何中基本的曲線形之一。圓的有關性質是本章的重點與難點，而圓的有關概念是研究圓的性質的前提與基礎。何為性質？幾何對象組成要素之間確定的關系就是性質。通過研究圓的相關要素——弧、弦、圓心角之間的對應相等關系來研究圓的有關對稱性。

本節課的概念比較多，對于這些概念，教學時，首先引導學生借助圖形直觀加以理解，這個不能忽視。幾何，歸根結底，是研究圖形的，要充分利用圖形的“直觀性”幫助學生理解幾何概念。其次，我們教師要深入理解教材，會合理加工、重組教材提供的素材進行課堂教學，實現“用教材教”，而不是停留在“教教材”的低水平層次上。筆者進行了思考，發現通過找尋知識內在的邏輯聯系，有利于更好地進行幾何概念教學：

1.引導學生經歷概念的形成過程，體現過程性原則的要求

數學是抽象的，這既是“攔路虎”，又是數學“魅力”的集中體現。怎樣讓學生不在數學的抽象過程中“迷失”？讓學生經歷概念的形成過程是一個好辦法，這也是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中明確提出的新課程基本理念：要重視過程，處理好直觀與抽象的關系；在數學知識形成、發展和應用的過程中感悟數學思想，積累數學活動經驗。

2.培養學生系統地研究數學概念，體現系統性原則的要求

圓就是一個小系統，它的組成要素和相關要素包括：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角。圓與弧的關系就對應了系統與要素的關系，也體現了整體與部分的數學思想。弧、弦與圓心角的關系就反映了系統內要素與要素的關系，而它們關系的具體體現就是圓的對稱性（旋轉不變性）。圓的其他許多性質也是通過與圓有關的線段（如直徑、弦、切線長等）和角（如圓心角、圓周角等）體現的。所以，理解圓的相關概念，對圓整章內容的掌握就顯得尤為重要。先研究幾何對象的要素、相關要素，即概念，再研究要素、相關要素之間確定的關系，即性質，這是一種普遍適用的方法，其中，概念是基礎、根本，是數學大廈的地基。

《標準》明確提出，數學教學的根本是以提高數學素養、發展思維能力、培育理性精神為核心，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考，成為善于認識問題、解決問題的人才，使學生經歷研究一個數學對象的基本過程，是培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的重要途徑。同時，提升系統思維水平是培養學生發現和提出問題能力、分析和解決問題能力的關鍵舉措。