“最短路徑問題”課堂教學策略探究

江蘇省南京市梅園中學 趙 霞

“最短路徑問題”課堂教學策略探究

江蘇省南京市梅園中學 趙 霞

一、學情問題分析

1.教學內容方面

本節課的教學內容是利用軸對稱研究最短路徑問題——將軍飲馬問題。最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等圖形變換進行研究。

本節課以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”、（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。

基于以上分析，確定本節課的教學重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。

2.教學對象方面

（1）認知基礎：在七年級已經研究過“兩點之間,線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問題以及有關平移的基本知識，在本章的前面，學生也初步掌握了作點關于某直線的對稱點，所有這些內容構成了本節課的認知基礎。

（2）活動經驗：通過初中階段一年多的學習，學生已經有了圖形變換以及模型構建的意識，獲得了初步的數學思維轉化這一數學活動的經驗，具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力。

（3）困難預測：學生在解決“線段和最短”這一問題時缺乏經驗，特別是面對具有實際背景的最值問題時更會感到陌生，無從下手。解答“當點A，B在直線l的同側時，如何在直線l上找到點C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉化為“直線l的異側的兩點，與l上的點的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉化、怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解上和操作上的困難。在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法一些學生想不到。

3.教學環境方面

現在我們全市所有教室都安裝了電子白板。電子白板良好的交互性以及圖形處理的優勢，有利于本節課中學生的觀察、思考、操作、反思，所以本節課的備課和授課全部在電子白板上進行。

二、教學目標與重難點分析

教學目標：1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想。2.能將實際問題抽象為數學問題來解決，體會數學知識的應用價值。

教學重、難點：經歷利用軸對稱，將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題的過程。

三、教學過程實錄（部分）

（一）問題引入

（教師活動） 構建模型：

1.看到課題，回憶學過哪些最短路徑問題？

2.小試身手：如圖，已知點A，B分別是直線l異側的兩個點，如何在直線l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離之和最短？

（學生活動） 學生口答：

（1）兩點之間，線段最短。

（2）直線外一點與直線上各點所連線段中，垂線段最短。

（設計意圖）以學生已經學過的知識為起點，為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。

（二）合作探究，感悟方法

1.提出問題

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A 地出發，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B地。到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？

精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。你能將這個問題抽象為數學問題嗎？

白板顯示：

（學生活動）閱讀故事，獨立思考老師提出的問題，嘗試將這個實際問題抽象成數學問題。

（設計意圖） 由學生代表敘述抽象的過程：將“地點”和“河”分別抽象成“點”和“直線”，把這個最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

將實際問題抽象成數學問題是解決實際問題的第一步，這個過程的經歷和體會，對于其他實際問題的解決同樣具有深遠意義。

2.解決數學問題

（教師活動）如圖，已知點A，B在直線l的同側。請在直線l上找一點P，使得點P到點A、 B的距離之和最小。

問：（1）能否在直線l下方找到一點B′，滿足對于直線上的任意一點P，都有PB=PB′?（組織學生回憶軸對稱的性質）

（2）怎樣畫出點B關于直線l的對稱點B′？

（學生活動）圍繞問題（1）先獨立思考1分鐘，然后小組內交流，獨立思考問題（2）后，根據視頻嘗試敘述對稱點的畫圖過程，在紙上獨立完成畫圖和必要的文字說明。

（設計意圖）通過問題的引導、臺階的搭建，幫助學生逐步將同側問題轉化為異側問題，滲透轉化思想。

3.反思、總結

（教師活動）引導學生獨立反思、總結解決這個問題的思想方法，白板顯示轉化過程和解題關鍵的提煉。

（學生活動）獨立反思、總結解決這個問題的思想方法，并集體交流，補充完整。

（設計意圖）通過引導學生自主反思和總結，使學生養成及時反思的習慣。

4.自主證明

（教師活動）你能用所學的知識證明PA+PB最短嗎？

追問：為什么要在直線l上任取點C（不與點P重合）？

（學生活動）在老師的引導下獨立完成證明過程，并思考老師的追問，然后集體交流。

（設計意圖）讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力。

（三）變式訓練

（教師活動）方法遷移：如圖，將射線OD繞點O逆時針旋轉90度。在射線OC、OD上分別確定點P、Q，使線段AP、PQ、BQ的和最小。

（學生活動）獨立思考1分鐘，然后組內交流、討論,合作解決。

（設計意圖）適當的變式有助于學生鞏固方法和進一步內化方法。

（四）類比探究

（教師活動）觸類旁通：如圖，P為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請你幫他確定這一天的最短路線。

（學生活動）獨立思考，先將實際問題抽象成數學問題，再嘗試獨立解決，然后小組內討論。

（設計意圖） 讓學生自主經歷一個實際問題的解決過程，形成方法的融會貫通。

（五）反思總結

（教師活動）領悟本質：組織學生在回放中反思總結。（學生活動）獨立反思，然后交流。

（設計意圖） 進一步體會轉化思想和把握解題關鍵。

四、教學反思與感悟

日本著名數學教育家米山國藏指出：“作為知識的數學，出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數學的精神，數學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們終身受益。”本節課的教學中，不只是讓學生接受一個概念或一種方法，不只是注重數學形式層面的教學，而是更重視數學發現層面的教學，即讓學生在經歷將實際問題抽象為數學問題和利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題的過程中，去感受建模、轉化的數學思想。

1.數學問題生活化

本節課以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體，開展對“最短路徑問題”的課題研究，不僅增加了內容的趣味性、激發了學生的求知欲，而且能夠在一定程度上體現數學的應用價值。

2.思維方式數學化

引導學生經歷將實際問題抽象為數學問題、將同側問題轉化為異側問題的過程，充分感受建模和轉化思想，逐步形成數學化的思維方式。

3.啟發引導問題化

問題設計不是越多越好，杜絕淺層次、指向不明的問題。設計的問題要讓學生真正有所思考，并且可以經過思考得到結論。本節課中，通過一系列緊扣教學目標的問題：“你能將這個問題抽象為數學問題嗎？”“能否在直線l下方找到一點B′，滿足對于直線上的任意一點P，都有PB=PB′？“怎樣畫出點B關于直線l的對稱點B′？”“為什么要在直線l上任取點C（不與點P重合）？”逐步引導、啟發學生找到解決問題的途徑和方法，也有助于學生有序思維的發展和分析、解決問題能力的提高。

4.內容呈現直觀化

借助電子白板，將教學內容直觀呈現，同時利用動畫、視頻揭示圖形的演變過程、思維的發展過程、問題的解決過程、對稱點的作圖過程，使學生大腦里形成清晰的畫面，有助于進一步地理解和內化知識。

5.習慣養成常態化

及時反思是有效學習的重要一環。養成及時反思的習慣不僅有助于學生知識、方法的內化，而且對于學生學力的提高有著深遠的意義。本節課中十分注重反思習慣的潛移默化，引導學生及時反思抽象的過程、轉化的方法和解題關鍵的提煉。

數學思想觀念是指用數學眼光去認識和處理周圍事物或數學問題，可以培養學生良好的“用數學”意識，使數學關系成為學生的一種思維模式。本節課中，我從引導學生形成數學思維模式的角度去展開過程性教學，讓學生得到了自主的發展和對數學本質的領悟。