三管齊下“平均數”

張永艷

《平均數》一節是人教版小學數學第六冊第三單元《統計》的教學內容?？吹健捌骄鶖怠边@個詞，老師們第一感覺是：“好教，不就是‘平均數=總數÷數量嘛！”可事實卻不盡然。筆者今年所帶班級在三月份正好學習這部分內容，教學流程不可謂不流暢，基礎訓練不可謂不扎實，但學生遇到諸如 “一條河平均水深110厘米，小明身高140厘米，他下水游泳有危險嗎？”之類的問題仍一籌莫展；求平均速度、平均溫度等問題時雖能套上公式計算卻不知其所以然的現象時有發生。原因何在？又該如何改進？下面進行詳細的探討。

一、凸顯平均數概念的統計學意義

平均數是統計中的一個重要概念，是描述數據集中程度的一個統計量。以前，平均數是作為典型應用題來編排的，新課改后的教材把平均數放在“統計與概率”里進行教學，毋庸置疑，便是對平均數統計價值的定位，也給廣大的教師帶來了新的挑戰。

請看如下教學片斷：

出示課本中四名學生收集廢舊礦泉水瓶的情境圖。

師：誰收集得最多？誰收集得最少？

師：你能讓他們數量一樣多嗎？（體現移多補少的思想）

生：小紅給小蘭1個，小明給小亮2個。

師：真棒！這樣，他們都達到了13個，這個“13”，就叫這幾個數的平均數。我們怎樣通過計算得到平均數呢？

學生討論后回答：可以先求總個數52，再除以4。

師：很好！平均數=總數÷數量。

以上教學環節雖然流暢，但把重點放在平均數的含義和求法上，對平均數在統計學上的意義和作用沒有涉及。

什么是平均數的統計學意義？平均數的統計學意義就是能刻畫、代表一組數據的整體水平。平均數不同于原始數據中的每一個數據（有可能等于某個原始數據），但又與每一個原始數據相關，代表這組數據的平均水平。它既可以描述一組數據本身的總體情況，又因為具有良好的代表性，便于比較又公平，因此也作為不同組數據比較的一個指標。

由此可知，“平均數是表示一組數據集中趨勢的量數”。當然這樣的概念不能直接對學生說。那么，如何在教學中凸顯出平均數的統計意義？

1.準確把握教學目標

《教學用書》指出，平均數的教學目標有三個：①使學生理解平均數的含義；②初步學會簡單的求平均數的方法；③理解平均數在統計學上的意義。

從教學目標的三個維度來說，第一、二個目標屬知識技能維度，達成度只要看看學生做題情況便一目了然；而第三個“理解平均數在統計學上的意義”，屬于過程與方法的層面，這恰恰是廣大教師最難把握的，什么是“平均數在統計學上的意義”？采用怎樣的情境利于學生感悟？如何利用平均數這一媒介培養學生的統計意識？這些都要課前細細推敲，比較鑒別。

筆者認為本節課教學目標應定位為：重點理解平均數的統計學意義，其次才是求平均數的方法。

2.關注學生認知建構

教材呈現的是四人收集廢舊汽水瓶的情境。教師提出問題：“他們組平均每人收集了多少個？”學生經過操作、計算等活動，得出“先求總數52個，再除以人數4，平均每人收集13個”。對于三年級學生來說，這一心理轉換過程是缺乏活動經驗的支撐的；最后計算的結果平均數“13個”，就是這個小組整體上收集水平的代表，其統計意義對學生而言也是很難直接建立的，學生會疑惑，“用一共撿了52個”不也能代表他們組的水平嗎？因此，僅僅“移多補少”，然后把總個數平均分成幾份來揭示平均數代表整體的一般水平意義，學生還有難以跨越的思維斷點，導致學習效果不佳。

3.系統把握三個統計量

小學階段統計與概率部分有三個統計量：平均數、眾數、中位數。平均數與組中每個數據都有關聯，它可能是組中數，也可能不是組中數。平均數受數據的制約，能反映一組數據的全貌，因而具有敏感易變的特點。

而眾數著眼于對各數據出現的次數的考察。當一組數據中不少數據多次重復出現時，常用眾數來描述這組數據的整體水平。

當一組數據中的個別數據變動較大時，可采用中位數描述其集中趨勢。

如果教師能系統把握三者的聯系和區別，那么在執教平均數時便會心中有數，游刃有余，教學設計的視野也會更廣闊、教學目標更恰當。

二、明確“平均數”與“平均分”的關系

教學片斷：

師：想一想，除了移多補少，還可以怎樣求他們組平均每人收集了多少個？

學生：思考。

師提示：看看統計圖，是不是可以把52個汽水瓶平均分成4份？怎樣計算？

生：52÷4=13。

師：其實，求平均數就是把總數平均分。

如果為了引出平均數求法，教師的引導無可厚非，但如果就此打住，不再對“13”所具有的統計意義進行辨析，那么學生便會認為平均數等同于平均分。其實，平均數與平均分既有聯系又有區別。

誠然，二者的計算過程相同，且平均數是借助平均分的意義通過計算得到的。但是二者的意義是根本不同的。

從問題解決角度看，“平均分”有兩層含義：一是已知總數和份數，求每份數是多少；二是已知總數和每份數，求有這樣的多少份，強調的是除法運算的意義，解決的是“單位量”與“單位個數”的問題。而平均數則反映全部數據的整體水平，目的是比較兩組數據的整體水平，強化統計學意義。

從問題的答案來看，平均分的得數是一個確定的數，如把12塊糖平均分給3個孩子，平均每人分得4塊，這個“4塊”是每個孩子實際分得的數；而平均數是一個“虛擬”的數，如果說3個孩子一共有12塊糖，平均每個孩子有4塊，這個“4塊”就是平均數，但不一定每個孩子都有4塊糖。

教者首先要對平均數與平均分之間的關系與區別心中了然，更要引導學生形成正確無誤的認知結構。

三、細膩展示平均數的豐富內涵

由于平均數反映所有數據的集中趨勢，因而它對所有數據具有典型代表性的意義，正因這一特性，平均數在現實生活中具有廣泛的應用。讓學生體驗與感受平均數的豐富內涵是學習平均數的真正意義所在。我們教學平均數，往往側重求平均數方法的多樣和靈活，注重算法的優化，而忽視了平均數的實際意義。

1.用好教材，適當補充

教材上有平均身高、平均體重、平均最高氣溫、月平均銷售量、平均速度等素材，比較豐富，與生活聯系比較緊密，我們要充分利用好這些情況；同時，還可以補充平均收入、平均用水量、平均成績、平均水深、平均壽命、脈搏1分鐘跳動次數等情境，讓學生在不同情境中運用平均數的知識解釋生活現象，解決實際問題，深化認識，積累分析和處理數據的方法，發展統計觀念。

2.數形結合，相機滲透

（1）平均水平線。當學生出現思維障礙時，我們可以在條形統計圖上畫一條橫線，即平均水平線，讓學生在數形結合中更深層次理解平均數的內涵。教材42頁情境圖上便有一條紅色的虛線。

（2）質疑問難。解決練習題時，教師提出問題“甲種餅干的月平均銷售量為什么在140～180之間？”“如果小明的數學成績多考8分，平均分數會變嗎？”“看統計圖估計，平均每個興趣小組有幾人？你是怎樣想的？”……意在讓學生領悟平均數的離散程度、易變性、均差之和等靈動的個性特征。

參考文獻：

[1]葛 晶.小學數學教學中如何讓學生理解平均數的統計意義[J].新課程（上旬刊），2016（10）.

[2]吳 駿，丁雪艷.中美小學數學教材平均數概念比較研究[J].云南教育（小學教師版）.2017（5）：9-10.

[3]徐 艷.還原平均數的本來面目——“平均數”教學設計與說明[J].小學數學教育，2016（20）.

（作者單位：山東省日照市新營小學）