把握函數(shù)本質(zhì) 理解概念特征

黃元宋

【摘要】“變量與函數(shù)”是滬科版八年級上冊的重要教學(xué)內(nèi)容。本文論述教師要遵循科學(xué)的探究理念，把握函數(shù)概念的本質(zhì)，合理運(yùn)用正、反實例，讓學(xué)生體驗概念的探究過程，準(zhǔn)確理解函數(shù)特征，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。

【關(guān)鍵詞】《變量與函數(shù)》 概念教學(xué) 對應(yīng) 反例 特征

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）09A-0065-02

函數(shù)概念是數(shù)學(xué)的基本概念之一，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起著十分重要的作用。初中階段的函數(shù)概念是從動態(tài)變化和聯(lián)系對應(yīng)的角度來進(jìn)行定義的，該定義是對一個變化過程中兩個量的描述。由于函數(shù)的特征是變化發(fā)展的，加上學(xué)生的知識儲備不足，導(dǎo)致了學(xué)生對函數(shù)概念的理解有困難。因此，在課堂教學(xué)中教師要結(jié)合實例，幫助學(xué)生完成思維的飛躍。

一、抓住函數(shù)本質(zhì)，突出“變化”與“對應(yīng)”思想

從函數(shù)概念的本源來看，函數(shù)的起源來自于對事物運(yùn)動、變化的分析，它描述了客觀事物之間存在的動態(tài)變化而又互相依存的特殊關(guān)系，正是這種關(guān)系的存在，使得處于變化中的兩個變量相互制約、相互牽制。因此，“變化”是函數(shù)的本質(zhì)屬性，也是函數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，教師應(yīng)以函數(shù)“變化”作為突破口展開教學(xué)。

在“變量與函數(shù)”教學(xué)問題提出的初始階段，教師可以設(shè)計如下問題：

一輛汽車以每小時60千米的速度勻速行駛，行駛的里程為s千米，時間為t小時，首先填寫下表，然后嘗試用含有t的式子表示s。

學(xué)生在面對上述問題中s=60t時，對于給定的t值，也可以計算出對應(yīng)的s值，但大多數(shù)學(xué)生僅是將其作為一個個獨(dú)立的算式，沒有從整體上進(jìn)行聯(lián)系，更不能深刻體會該過程中變量s隨著變量t的變化而變化。因此，教師要設(shè)計一些典型的例子，計算由自變量得到相應(yīng)的函數(shù)值，讓學(xué)生在觀察、比較、分析具體問題中量與量之間的變化關(guān)系。對于靜止的表達(dá)式或表格，要引導(dǎo)學(xué)生將其看作是動態(tài)的過程，讓學(xué)生從靜止的關(guān)系中逐步過渡到量與量之間的動態(tài)關(guān)系上，實現(xiàn)靜態(tài)到動態(tài)的飛躍。

另外，函數(shù)的本質(zhì)也存在一一對應(yīng)的關(guān)系。在學(xué)習(xí)函數(shù)之前，教材已經(jīng)滲透了“對應(yīng)”的思想，例如有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)，因此在教學(xué)函數(shù)概念時，教師要通過實例讓學(xué)生感受“對應(yīng)”思想，通過非概念的變式使學(xué)生明晰“對應(yīng)”是“唯一”確定的對應(yīng)。

例如在概念探索階段可以出示如下問題：

某地區(qū)一天內(nèi)的氣溫變化情況圖

（1）圖象中存在的兩個變量分別是什么？

（2）溫度T取到一個定值時，時間t是否唯一確定？請說出該地區(qū)t=12時的溫度。

通過引導(dǎo)提問，讓學(xué)生從直觀上感受函數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系，理解“唯一確定”的含義，明晰函數(shù)概念。

函數(shù)是從數(shù)量角度來反映變化規(guī)律的模型，對于函數(shù)概念的“變化”和“對應(yīng)”思想，教師要進(jìn)行有針對性的設(shè)計，通過引導(dǎo)設(shè)問的方式使學(xué)生從圖象的直觀感受上理解函數(shù)的特性，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷質(zhì)的飛躍。

二、結(jié)合生活實例，體驗概念的生成

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是活動式的教學(xué)，對于抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，教師更要精心設(shè)計數(shù)學(xué)情境，從生活實例中提煉豐富的素材，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的探究過程，并建立起對函數(shù)知識的認(rèn)識。

對于“變量與函數(shù)”的教學(xué)，教師應(yīng)由實際問題來抽象函數(shù)概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，正確理解函數(shù)的意義，了解函數(shù)的本質(zhì)。首先從生活的實例中讓學(xué)生感知變量，深刻體會學(xué)習(xí)變量的必要性。例如，在教學(xué)中讓學(xué)生體會自己的成長經(jīng)歷，隨著年齡的增加，大家身體長高、體重增加、知識增多等，這些都可以看作是變量。緊接著就要引導(dǎo)學(xué)生明晰變量和常量的概念，如：①以60千米/時勻速行駛的汽車，它的里程隨時間的變化而變化；②某地一天內(nèi)各時刻的氣溫變化；③懸掛重物的彈簧，它的長度隨質(zhì)量的變化而變化。首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：存在數(shù)值變化的量和數(shù)值不變的量，然后指出實例中哪些是變量，哪些是常量，最終反復(fù)分析、比較、抽象、概括出變量與常量的概念。針對實例中的某一問題讓學(xué)生分組討論，分析問題中的兩個變量之間是否存在聯(lián)系，存在怎樣的聯(lián)系。教師要密切關(guān)注和了解各組的討論情況，適時點(diǎn)撥。例如問題1，存在變量時間t，變量里程s，兩個變量存在聯(lián)系，即其中一個變量取一定值時，另一個變量是唯一確定的，如t=1時，s=60；t=2時，s=120。然后引導(dǎo)學(xué)生歸納概括，得出問題中變量與變量之間的共同屬性：①存在兩個變量；②變量之間存在聯(lián)系；③一個變量的變化會引起另一個變量發(fā)生變化；④這種變化呈一一對應(yīng)關(guān)系。最后，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述函數(shù)的概念。

可見，結(jié)合實例開展探究活動，并根據(jù)實例進(jìn)行有針對性地分析和比較，不僅有利于學(xué)生掌握函數(shù)的本質(zhì)，也能提升學(xué)生分析概括的能力。

三、合理引用反例，辨析函數(shù)的特征

函數(shù)概念的形成需要經(jīng)歷“觀察—分析—比較—概括—表述”的過程，學(xué)生對于概念的認(rèn)識將經(jīng)歷從模糊到清晰。教學(xué)中合理地運(yùn)用反例可以幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念，但是反例的運(yùn)用需要細(xì)致斟酌，過多、過早都會對學(xué)生的理解造成干擾。

概念探究的前期需要大量的實例作為背景，由實例來抽象出變量關(guān)系，從中概括出函數(shù)“單值對應(yīng)”的特殊關(guān)系。該過程需要充分引入反例，通過正反對比讓學(xué)生有效避開概念理解的誤區(qū)。例如由“氣溫問題”的函數(shù)圖象向?qū)W生講解“唯一確定”時不需要設(shè)置反例，反例的設(shè)置只會使學(xué)生失去學(xué)習(xí)重點(diǎn)，但對于函數(shù)概念的“唯一對應(yīng)”則可以設(shè)置反例，通過辨析幫助學(xué)生理解該特征的實質(zhì)：這樣的對應(yīng)可以是“一對一”，也可以是“多對一”，但不可以是“一對多”（實例如下圖）。

在教學(xué)“一個變量確定另一個變量”時，可以對引用的實例進(jìn)行反例辨析，例如對于“汽車勻速行駛問題”和“氣溫問題”作出如下變式提問：①該地區(qū)某一天的時間是氣溫的函數(shù)嗎？②該汽車以每小時60千米的速度勻速行駛，時間t是里程s的函數(shù)嗎？巧妙運(yùn)用反例，可以幫助學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗理解“兩個變量的對應(yīng)關(guān)系”，即“變量A能唯一確定變量B”，理解自變量與函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力。

單純地觀察同一屬性的事物很難明晰事物的共同屬性，而對事物的充分認(rèn)識是從對比中發(fā)展而來的，沒有對比就沒有區(qū)分，反例的合理運(yùn)用則可以幫助學(xué)生把握事物的共同特征。

“變量與函數(shù)”的教學(xué)是首次在常量的基礎(chǔ)上引入了變量，是學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)知的深入遞進(jìn)。教師要充分結(jié)合實例，遵循感性到理性、具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，充分把握函數(shù)的“變化”與“對應(yīng)”思想，合理利用正、反實例，通過對比分析幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)特征。

（責(zé)編 林 劍）endprint