初中數學教學中常見數學模型舉例

施清水??

摘要：數學建模是初中數學教學中最常用的方法和思想，數學模型在初中數學教學中的應用，能夠將抽象的概念、理論和內容具象化，提高學生理解和掌握效率，并提高學生數學應用能力。筆者首先對初中數學中數學模型的應用要點進行分析，并對初中數學教學中常用的數學模型進行舉例和分析，為初中數學教學中數學模型的應用提供資料參考。

關鍵詞：初中數學；教學；數學模型；舉例

數學模型是初中數學教學中最常用的思想和方法，其在初中數學科目教學中的應用，能夠極大的提高教學效率和質量。想要提高數學教學中數學模型的應用水平，就一定要掌握數學教學中數學模型的應用要點，將數學模型和生活實踐建立聯系，并讓學生掌握生活實踐-數學模型-生活實踐之間的循環轉化關系，通過數學模型的靈活運用，提高學生數學問題理解水平，并提升學生的數學應用能力。

一、 初中數學教學中數學模型的應用要點

（一） 審題

數學模型是對真實生活中數學問題的概括與簡化，其與現實生活是有著緊密聯系的。在初中數學科目教學中，面對數學問題和數學題，想要得到正確的數學模型，一定要把握好審題關。只有提高審題的準確度，才能在較長的數學問題敘述中找到構建數學模型的要點，才能明確建模的目的和方法，并找到題目中的已知項和未知項，并采取相應的數學模型來解決問題。因此，在初中數學教學中數學模型應用中，提高學生的審題能力，是提高學生數學模型應用準確度和數學問題解決能力的關鍵點。

（二） 簡化

在數學問題中應用數學模型，其主要的目的就是實現對問題的簡化，并通過對已知條件和未知條件的調用，找到數學問題中各個關鍵內容之間的聯系，構建數學模型并予以解決。因而，在數學教學中，教師要教會學生如何簡化問題，并能夠從問題中找到主要因素、次要因素，找到已知條件和未知條件，從而根據數量關系和所學知識，構建數學模型，通過數學模型的調用完成解題過程，并得到正確的結果。

（三） 抽象

數學相比于其他科目，最大的特點就是有著自己的數學符號和語言。數學符號和語言的形成，正是在數學建模的過程中總結而來的。教師在數學科目教學中，一定要讓學生掌握數學符號和語言，只有這樣，在遇到數學問題時，才能通過具象的問題抽象化，將實際的問題用數學符號來準確表達，并根據相應的定理、概念和方法，解決問題。

二、 初中數學教學中常見的數學模型舉例

（一） 函數模型

實例一：某文教店新采購一批圓珠筆，采購成本為每支1.8元，計劃每支圓珠筆4.0元出售，每個月可以銷售該品種圓珠筆200支。為了增加銷量，店里決定采取降價促銷的方式，通過調研，圓珠筆價格每降價1.0元，月銷量能夠提高50支。問題1，試求月銷量y和銷售單價x之間的函數關系式。問題2，試求出銷售利潤z和銷售單價之間的函數關系式。

解1：根據上述條件，可得等式y=200+50（4.0-x）=-50x+400，y與x之間的函數關系式為y=-50+400.

解2：根據上述條件，可得關系式：z=（x-1.8）（-50x+400），整理得z=-50x2+490x-720

剖析：本題目中包含一次函數和二次函數兩個問題，通過對題目的分析，將具體的問題抽象成為由函數構成的抽象問題，這種建模的方法和思想，便于實際數學問題的解決。除上述模型外，包括供排水、成本計算、方案優化選擇等問題，都能夠運用函數模型來表達，并幫助人們提高問題的解決效率。教師在應用函數模型中，關鍵是要讓學生發現數學和實際問題之間的聯系，提高學生的數學應用能力。

（二） 方程（組）模型

方程和方程組模型對實際生活的影響更大，讓學生掌握方程和方程組模型，學生能夠靈活的解決生活中的問題，完成包括價格計算、收益計算、成本分配計算等任務。

實例二：張明過年得到了100塊錢壓歲錢，這100元錢張明準備買玩具。通過詢問價格，一個小汽車玩具價格25元，一個士兵玩具的價格為5元，張明買士兵的數量是小汽車數量的5倍，問張明小汽車和士兵玩具分別買了幾個。

剖析：該問題比較簡單，通過建模能夠抽象成一個一元一次方程組。通過在具體的教學中使用一元一次方程組，能夠用數學符號來表達具體的購買數量和價格關系，這有助于幫助學生更直觀的分析張明的購買行為，并提高學生對方程和方程組模型的理解程度，提高其生活問題的解決效率。

（三） 不等式（組）模型

不等式和不等式組模型同樣是初中數學教學中應用的重要模型，不等式模型包括純不等式、不等式組、最優方案問題、等式和不等式綜合題、不等式和函數綜合題等幾種。不同的不等式問題，需要綜合不同的不等式、等式或函數模型來解答。由于不等式問題抽象性更強，因而學生在解決中遇到的困難也最多。

實例三：把價格為每千克20元的甲種糖果8千克和價格為每千克18元的乙種糖果若干千克混合，要使總價不超過400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙種糖果最多是多少？最少是多少？

剖析：實例三所給出的題目就是一個標準的不等式組問題，不等式組問題與方程組問題的概括總結方法比較類似，但由于題目中含有不超過、不少于等不確定性的關鍵詞，因而學生在解題中很容易出現錯誤。不等式模型在盈虧分析、方案制定、投資決策等問題中比較常用，在應用不等式模型時，教師要引導學生正確的找到代表不等式問題的關鍵詞。

（四） 概率模型

概率模型相比于上述其他數學模型，由于題干內容量大，內容較為分散，學生解題通常比較難。雖然初中概率相關的教學內容占比不大，但概率仍然是中考中考點之一，如果在教學中應用好概率模型，能夠有效提高學生概率章節內容的學習理解效率，從而提高教學質量。

實例四：小明和小亮是一對雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運動服送給他們，小明和小亮都想先挑選.于是小明設計了如下游戲來決定誰先挑選.游戲規則是：在一個不透明的袋子里裝有除數字以外其他均相同的4個小球，上面分別標有數字1，2，3，4。一人先從袋中隨機摸出一個小球，另一人再從袋中剩下的3個小球中隨機摸出一個小球.若摸出的兩個小球上的數字和為奇數，則小明先挑選；否則小亮先挑選。

（1） 用樹狀圖或列表法求出小明先挑選的概率；

（2） 你認為這個游戲公平嗎？請說明理由。

剖析：概率問題的出現，一般有著綜合性強的特征。如果學生不能熟練的掌握概率相關的數學模型，在遇到復雜問題時，就會感覺到無從下手。概率模型的教學要點，在于經典概率模式的掌握，還有就是要培養學生從復雜題干中找到解題關鍵信息的能力，從而提高學生概率模型的應用水平，提高其概率相關問題的解題能力。

（五） 幾何模型

幾何方面的內容，占據初中數學的大量課時和篇幅，作為初中數學科目教學的重點，幾何教學中對數學模型的應用頻率更是比較高。對于初中幾何模型在教學中的應用，可以分成幾種不同的模型類型，在教學中要讓學生靈活掌握，從而提高幾何題解題能力。初中階段常用的幾何模型包括平行和垂直、三角形（梯形）、等腰三角形、直角三角形等。

實例五：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F.

求證：∠DEN=∠F.

剖析：對初中數學幾何模型的應用，關鍵是讓學生學會對所學過數學知識的調用。只有在解決幾何問題時，能夠靈活地運用所學過的定理、規律，才能提高對幾何問題的解題效率。因此初中數學中幾何模型的應用，關鍵是提高學生的發散思維能力，讓學生掌握思維拓展和知識遷移的方法。

綜上所述，函數模型、方程組模型、不等式模型、幾何模型、概率模式作為貫穿初中教學全過程的常用數學模型，其應用要點和教學要點有著明顯的區別。在具體的教學實踐中，對于不同的數學模型，教師一定要采取不同的教學與授課方式，才能讓學生更準確的掌握這些經典數學模型。

參考文獻：

[1] 李守霞.初中數學幾何教學中運用模型教學研究[J].中國校外教育旬刊，2015（2）：111-111.

[2] 汪赫.例談初中數學常見的幾種“將軍飲馬”模型應用問題[J].試題與研究：教學論壇，2016（13）：24-24.

[3] 艾立艷.追求數學教學“美與趣”的嘗試——以初中數學教材的三個模型處理為例[J].中小學數學：初中版，2016（6）：1-2.endprint