二次函數(shù)與三角形的綜合性問(wèn)題

劉從凱

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的一個(gè)樞紐，在中考中占舉足輕重的地位，二次函數(shù)綜合題更成了歷年來(lái)各省市中考試題中常見(jiàn)的重要題型.今天讓我們一起來(lái)領(lǐng)略二次函數(shù)與三角形的綜合題在中考中的風(fēng)采吧！

一、二次函數(shù)與直角三角形

例1 （2017·徐州）已知二次函數(shù)y=[49]x2-4的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，⊙C的半徑為[5]，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn).

（1）點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（ ），C（ ）；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】（1）令y=0，則x=±3，令x=0，則y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.

（2）存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形.

①當(dāng)PB與⊙C相切時(shí)，△PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，

∵OB=3，OC=4，∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2=[5]，∴BP2=[25]，

過(guò)P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，

則△CP2F∽△BP2E，相似比為1∶2，

設(shè)OF=P2E=2x，則OE=FP2=x，

∴[BECF]=[3-x2x-4]=2，∴x=[115]，

∴P2（[115]，[-225]），

過(guò)P1作P1G⊥x軸于G，P1H⊥y軸于H，

同理求得P1（-1，-2）.

②當(dāng)BC⊥PC時(shí)，△PBC為直角三角形，

如圖2，過(guò)P4作P4H⊥y軸于H，

則△BOC∽△CHP4，

∴[CHOB]=[P4HOC]=[P4CBC]=[55]，

可得P4（[455]，[-355]-4），

同理P3（[-455]，[355]-4）.

【點(diǎn)評(píng)】第（2）問(wèn)要根據(jù)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，PB與⊙C相切，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

二、二次函數(shù)與等腰三角形

例2 （2017·南寧）如圖3，拋物線y=ax2-[23]ax-9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N.

（1）直接寫(xiě)出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】（1）∵C（0，3），

∴-9a=3，解得：a=[-13].

令y=0可得：點(diǎn)A（[-3]，0），B（[33]，0）.

拋物線的對(duì)稱軸為x=[3].

（2）∵OA=[3]，OC=3，∴∠CAO=60°.

∵AE為∠BAC的平分線，

∴∠DAO=30°，∴DO=1.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（[3]，a）.

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a-1）2.

當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無(wú)解；

當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a-1）2，解得a=2或a=0；

當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a-1）2，解得a=-4.

∴點(diǎn)P（[3]，2）或（[3]，0）或（[3]，-4）.

【點(diǎn)評(píng)】在問(wèn)題（1）中要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，分類討論是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵.

三、二次函數(shù)與相似三角形

例3 （2017·海南）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）.

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

（2）該拋物線與直線y=[35]x+3相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N.連接PB，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥PM，垂足為點(diǎn)Q，如圖4，是否存在點(diǎn)P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），

∴該拋物線解析式為y=[35]x2-[185]x+3.

（2）存在.∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時(shí)，有[NQCQ]=[PMBM]或[NQCQ]=[BMPM]兩種情況，

設(shè)N（t，[35]t+3），P（t，[35]t2-[185]t+3），

∴CQ=t，NQ=[35]t，∴BM=5-t，

PM=[35t2-185t+3]=[-35t2+185t-3]，

當(dāng)[NQCQ]=[PMBM]時(shí)，解得t=2或t=5（舍去），此時(shí)P（2，[-95]）；

當(dāng)[NQCQ]=[BMPM]時(shí)，解得t=[349]或t=5（舍去），此時(shí)P（[349]，[-5527]）.

【點(diǎn)評(píng)】在（1）中我們要注意待定系數(shù)法的應(yīng)用；在（2）中我們利用P、N點(diǎn)坐標(biāo)，可以分別表示出線段的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)確定出相應(yīng)線段的比，從而列出方程求解即可.要注意當(dāng)兩相似三角形有一組角對(duì)應(yīng)相等的時(shí)候，需分兩種情況進(jìn)行討論.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）endprint