由拋物線上的點生成的幾何問題

二次函數在初中數學學習中占有重要地位，分析各地中考試卷，我們可以發現不少以二次函數知識為背景的壓軸題.因其可以涵蓋初中數學的許多知識點，具有較強的綜合性，所以廣受各地中考命題人員的青睞.掌握二次函數綜合性問題，要求我們做習題后，要注重對同類型的問題進行一般性的總結，得出實用的規律，幫助我們簡化解題，有些難點就能較快突破.下面就一類由二次函數圖像上的點生成的問題來探求其中的方法與規律.

一、問題生成類型

問題：拋物線y=-x2-2x+3的圖像交x軸于A、C，交y軸于點B，點D是拋物線的頂點，作拋物線的對稱軸，連接BC.你能求出圖1中A，B，C，D各點的坐標嗎？根據以上信息，能設計怎樣的問題來考呢？

圖1

【評析】拋物線上的點形成的幾何圖形通常會從以下幾個方面設計考點：線段長度，線段最值問題，線段位置關系，與圖形面積有關的最值問題，三角形的形狀，形成三角形相似，特殊角等.

二、問題應用舉例

生成問題1：拋物線y=-x2-2x+3在x軸上取一動點P（m，0），-3

【解析】本題分別求出過C、D與過C、B兩點的兩直線解析式：yCD=2x+6、yBC=x+3，把x=m分別代入各個解析式可得各點坐標：Q（m，-m2-2m+3），F（m，2m+6），E（m，m+3），各線段長可表示為：

QF=yQ-yF=（-m2-2m+3）-（2m+6）=-m2-4m-3，

EQ=yQ-yE=（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m，

EF=yF-yE=（2m+6）-（m+3）=m+3.

【評析】坐標系中垂直于x軸上點的坐標基本性質：直線上點的橫坐標相同，直線上兩點間距離等于縱坐標之差.

生成問題2：在運動過程中，是否會存在QF=EF的情況，若存在，求出m的值；如不存在，說明理由.

【解析】由問題1中求得的線段QF=-m2-4m-3，EF=m+3建立方程-m2-4m-3=m+3，可求得m的值：m1=-2，m2=-3（舍去）.

生成問題3：當m為何值時，BF與x軸平行？

【解析】根據圖形中隱含條件PF∥OB，所以當BF與x軸平行時，四邊形POBF是矩形，此時PF=OB=3，由PF=yF=2m+6=3建立方程，解得m=[-32].

生成問題4：判斷線段EF與EP的長度關系，并說明理由.

【解析】EF=EP.

理由：根據問題1中F（m，2m+6），E（m，m+3）可求出EP=yE=m+3，EF=（2m+6）-（m+3）=m+3.∴EP=EF.

【總結】解決以上4個問題都應用了坐標系中垂直于x軸的直線上點坐標的性質.所以在解決函數圖像上的點生成的問題中，多歸納基本圖形的特性，解題往往能一擊制勝.下面繼續挖掘該圖形生成的系列問題.

生成問題5：如圖3，連接QC，QD，當m為何值時，△CDQ的面積最大？

【解析】由問題1中求得的線段QF=-m2-4m-3，△CDQ的面積借助直線QF分割為兩部分：△CQF和△DQF，則S△CDQ=S△CQF+S△DQF

=[12]QF·CP+[12]QF·DM

=[12]QF·（CP+DM）=[12]（-m2-4m-3）×2

=-m2-4m-3=-（m+2）2+1，

∵-3

∴當m=-2時，S△CDQ有最大值1.

【評析】解決二次函數圖像中斜三角形面積問題，通常采用割補法將復雜、不規則的面積圖形分割成若干個三角形計算.分割時要注意以下幾點：①分割后的三角形面積應該容易計算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.如本題中也可連接DP，應用補的方法，先計算四邊形DQCP的面積，再減去△DCP的面積.有時可能要進行多次嘗試，才能找到更為簡單的計算三角形面積的方法.二次函數圖像中的斜三角形面積最值問題，是近幾年各地數學中考試卷中很常見的題型，并且大部分題目是作為壓軸題出現的.

生成問題6：當m為何值時，△BEF為等腰三角形？

【解析】由問題1中的求得點坐標F（m，2m+6）、E（m，m+3），由點B（0，3）可表示出線段EF，BF，BE的長，分別利用EF=BF，EF=BE，BF=BE建立方程使問題得解.

由B（0，3），F（m，2m+6），E（m，m+3）得BF=[m2+3+2m2]，BE=[2m2]，EF=m+3.

（1）當EF=BF時，則m+3=[m2+3+2m2]，

解得m1=0（舍去），m2=[-32]；

（2）當EF=BE時，則m+3=[2m2]，

解得m1=3-[32]，m2=3+[32]（舍去）；

（3）當BF=BE時，則[m2+3+2m2]=

[2m2]，

解得m1=-1（舍去），m2=-3（舍去）.

綜上，當m=[-32]或3-[32]時△BEF為等腰三角形.

生成問題7：當m為何值時，△BEF為直角三角形？

【解析】仿照問題6，由點坐標表示出△BEF三邊EF，BF，BE的長.該問題中因為-3

【評析】解決等腰三角形、直角三角形等有關問題時要注意分類討論，不要造成漏解.由拋物線上的點形成的幾何圖形可以生成許多問題.如本題還可生成問題：當m為何值時△CEF與△CFB相似.

我們能在做習題的基礎上多總結一些方法，發現一些規律，識別基本圖形，關注基本圖形的特性，在解壓軸題的過程中，能恰當地運用基本圖形的性質，這些難點就能迎刃而解.

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區實驗初級中學）