喝汽水引出的數(shù)學問題

楊滋潤

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）11-227-01

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一、發(fā)現(xiàn)并提出問題

大家一定有兒時喝那種“退瓶型”汽水飲料的經(jīng)歷吧。喝完了涼爽的汽水還能用空瓶換汽水繼續(xù)喝，那簡直是炎炎夏日里的一種享受。如果沒有經(jīng)歷過，那么這道小學時的奧林匹克數(shù)學題你應該見到過：

現(xiàn)有10瓶汽水，每三個空瓶可以換一瓶新的汽水。問總共能喝到多少瓶汽水呢？

我曾經(jīng)問過不少人這道題，他們給的結果通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶換來3整瓶，喝3瓶，還有3+1=4個空瓶。然后用3個空瓶再換一整瓶，喝掉。最后剩下2個空瓶。共10+3+1=14瓶）

當我提示他們剩下的兩個空瓶仍然能夠利用的時候，有些聰明人就給出了正確答案：借來一個空瓶，連同那剩下的兩個空瓶一起，換一整瓶，喝后把這個空瓶子還給人家。共喝了15瓶。

這就是這道題的正確答案。

最近我突然想到了這個問題，它能不能被深入地推廣一下呢？

于是我就開始了對這個論文題目的思考與研究。

二、建立數(shù)學模型

我列出了原有飲料瓶數(shù)和實際能喝到的瓶數(shù)的一些數(shù)據(jù)：

注意觀察：3、4 / 6、7 / 9、10 / 12、13

發(fā)現(xiàn)什么了嗎？根據(jù)不完全歸納的情況，我得到這樣一條重要的線索：當原有偶數(shù)瓶飲料時，實際能喝到原來3/2倍瓶數(shù)的飲料。若原有奇數(shù)瓶，則實際喝到原來3/2倍瓶數(shù)取整的飲料。

但這只是不完全歸納，如何從正面直接推導呢？

三、數(shù)學模型的分析與問題的解決

又經(jīng)過我細致的觀察，發(fā)現(xiàn)：只要是每有兩個空瓶，都可以運用文章開頭那種“借瓶子”的方法再喝一瓶飲料。這個發(fā)現(xiàn)太重要了。我可以這樣處理那些剩余的空瓶：分為兩個兩個一組，每一組等于一瓶“沒有瓶”的汽水（只可以喝，但不能得到空瓶）。這樣就可以正面對待問題了。當原有瓶數(shù)X為偶數(shù)時：先喝掉X瓶，然后把空瓶分為X/2個組，正好分完。每組又是一瓶。共喝掉X + X/2 = 3/2 X瓶。當原有瓶數(shù)X為奇數(shù)時：先喝掉X瓶，然后把空瓶分為（X—1）/2個組，還剩一個空瓶，浪費掉。共喝X +（X—1）/2= 3/2X-1/2瓶。其實和3/2 X取整之后結果是一樣的。這正驗證了上文中不完全歸納得出的結論。通過這種思想，我們能不能進一步再推廣呢？如果是4個、5個或更多空瓶換一瓶飲料，又會怎么樣呢？

四、數(shù)學模型的進一步推廣

現(xiàn)有X瓶汽水，每Y個空瓶可以換一瓶新的汽水。問總共能喝到多少瓶汽水呢？

由上文的推導過程來看，如果是Y個空瓶可以換一瓶飲料，那么每擁有（Y—1）個空瓶，就可以用借瓶子法得到一瓶飲料。所以當喝完X瓶飲料得到X個空瓶之后，又能喝到 [X/（Y—1）]瓶飲料。總共就是 [ X + X /（Y—1）] 瓶飲料。整理該式子，就得到了最后的結論：可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶飲料。endprint