空間軌跡問題的一點研究

謝炳劍

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）04-069-01

平面解析幾何和立體幾何都是高中數學的重點內容。平面解析幾何的本質是用代數方法研究平面幾何圖形的幾何性質；而立體幾何更多的是研究空間中點、線、面的位置關系及其性質。對于這兩幾何內容的學習研究，并將其內容加以綜合運用，就會產生一類空間中動點的軌跡問題，這類問題也是兩種幾何問題一個完美結合的例子。以立體圖形為載體的軌跡問題，將立體幾何和解析幾何巧妙地整合在一起，立意新穎，綜合性強，是新課程高考命題的一大趨勢。解答這類問題的關鍵是把空間問題轉化為平面問題，一般可從兩個方面考慮：一是利用曲線的定義，二是用解析法求出軌跡方程。

例1. 已知平面 平面 ，直線 ，點 ，平面 、 間的距離為4，則在 內到點P的距離為5且到直線 的距離為 的點的軌跡是（ ）

A. 一個圓 B. 兩條平行直線 C. 四個點D. 兩個點

簡析：如圖1，設點P在平面 內的射影是O，則OP是 、 的公垂線，OP=4。在 內到點P的距離等于5的點到O的距離等于3，可知所求點的軌跡是 內在以O為圓心，3為半徑的圓上。又在 內到直線 的距離等于 的點的集合是兩條平行直線m、n，它們到點O的距離都等于 ，所以直線m、n與這個圓均相交，共有四個交點。因此所求點的軌跡是四個點，故選C。

點評：本題以空間直線與平面的位置關系為依據，研究平面解析幾何的點的軌跡問題，立意新穎，構思巧妙，是深入考查學生思維能力的上乘之作。

例2. 在四棱錐 中， 面PAB， 面PAB，底面ABCD為梯形，AD=4，BC=8，AB=6， ，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（ ）

A. 圓 B.不完整的圓 C.拋物線 D.拋物線的一部分

點評：根據題目的信息，利用空間幾何性質，把立體幾何問題轉化到平面上，再利用解析幾何的方法探求軌跡是本題的閃光之處。

例3. 如圖2，定點A和B都在平面 內，定點P C是 內異于A和B的動點。且 ，那么動點C在平面 內的軌跡是（ ）

A. 一條線段，但要去掉兩個點B. 一個圓，但要去掉兩個點C. 一個橢圓，但要去掉兩個點D. 半圓，但要去掉兩個點

簡析：因為 ，且PC在 內的射影為BC，所以 ，即 。所以點C的軌跡是以AB為直徑的圓且去掉A、B兩點，故選B。

點評：本題主要考查圓、線面垂直的基本知識，利用線面垂直的條件，將空間問題轉化到平面上的圓的問題。

例4. 如圖3，在正方體 中，P是側面 內一動點，若P到直線BC與直線 的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（ ）

A. 直線B. 圓 C. 雙曲線 D. 拋物線

簡析：因為P到 的距離即為P到 的距離，所以在面 內，P到定點 的距離與P到定直線BC的距離相等。由圓錐曲線的定義知動點P的軌跡為拋物線，故選D。

點評：本題以立體幾何知識為載體，考查了圓錐曲線的概念等基礎知識，將拋物線的動態定義寓于正方體之中，體現了知識間的內在聯系和整合應用。

問題反思：從解決問題過程中可以發現，解決幾何問題的一般方法無外乎是將幾何問題平面化，將平面幾何問題解析化（代數化），最終運用解析幾何中求軌跡方程的常用方法求出動點的軌跡方程。endprint