HPM視角下的高等數學教學探討

黃永清

【摘要】本文首先簡要概述了HPM的概念，指出了數學史與高等數學教學整合的重要性與必要性，最后基于悖論實例，探討了HPM視角下的高等數學教學。

【關鍵詞】HPM；高等數學；數學史

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）10-0139-02

國際社會將關于數學教育與數學史之間關系的研究統稱HPM。現今，HPM研究組織已成立近40年，關于此領域的理論研究及實踐，均得到較大程度發展、完善與補充，但從總體上來看，存在著較嚴重的重理論而輕課堂實踐的情況。至此，本文基于HPM視角，對高等數學課堂教學進行了較深入研究，望能通過高等數學教學與數學史的整合，來調動學生學習興趣，提升學習質量。

一、HPM概述

HPM本意是指數學史和數學教育間的關聯性，其作為一個具有相對特殊性的學術研究領域，于1972年首次出現，由第二屆國際數學教育大會提出，并且還針對此領域專門組建了數學史與數學教學關系國際研究小組（HPM）。對于HPM研究目標而言，就是通過對數學歷史有針對性、高效化運用，提升數學教育的整體質量與水平。HPM注重的主要內容為：數學史與學生的認知發展，多元文化的數學，數學史與學生的困難，數學與其他學科間的關系，實際教學中數學原始文本的應用及數學史與發生教學法等。

二、數學史與高等數學教學整合的重要性與必要性

數學有著兩千多年的歷史，在人類早期社會，數學與宗教、藝術、語言等共同構建起了人類文明。數學史作為對數學發展進程及內在規律進行研究的一門科學，能夠對數學思想、數學方法即數學概念的起源、發展等進行系統化研究。研究數學史，目的有三：其一，歷史目的，即恢復歷史的原有形態；其二，數學的目的，實現古為今用，為更好的開展數學研究及強化自主創先，提供滿足實際需要的歷史信息與資料；其三，教育的目的，即把數學史融入到數學教學中，當前，此做法已成為一種普遍現象與趨勢。針對數學史教育來講，就是教師在數學知識實際講授過程中，利用實證，將某一知識或概念的誕生、發展與完善的過程，詳細介紹于學生，另將此知識或概念在發展進程中所遇到的各種問題與困難向學生指明，把數學家們如何將之避開或戰勝的方法教于學生。當前，傳統專才、英才的教育思想，已難以適應當今社會的教育、發展需要，而通識教育、素質教育才為所需與首要，而在此方面數學史有著突出的促進作用與指導意義。針對數學史的教育來講，主要包含三大目的，即培養學生的人文素養；激發數學學習興趣；幫助學生更好的理解數學。

三、實例探討——悖論

數學悖論即在整個數學體系中，既有數學規范中所出現的各種現今難以解決的認識矛盾，而在新的數學規范中，此種認識矛盾可以得到有效解決。縱觀人類數學歷史，共有4次真正意義上的數學高峰；首次發生于古希臘演繹數學時期，第二次為萊布尼茲與牛頓主導下的微積分時期，第三次以希爾伯特等人為中心的形式主義公理化時期；對于第四次來講，便是以計算機技術為重要載具或標志的新數學時期。另外，在數學歷史上，還有三次嚴重違紀，即發生于上個世紀初的由集合論悖論產生的危機、17～18世紀與微積分基礎爭論相關的貝克萊悖論危機及發生于古希臘時期的希帕索斯悖論危機，這些危機與上述數學高峰之間存在著緊密關系，對于此種關系而言，乃是數學能夠趨向完備的科學必然。針對起初階段的高等數學教學而言，通過將那些由數學悖論所導致的數學危機介紹于學生，來幫助學生更加深入、全面了解數學的學科本質，知曉其乃是一門矛盾與發展并存的學科。

18世紀初，為了更好的推動工業革命進程，萊布尼茲與牛頓首次創立了微積分理論，而且在實踐中得到成功應用，許多數學家對此理論的準確度與可靠性未有質疑。但對于兩人的理論而言，其基于無窮小分析基礎上而建立，他們在理解與運用無窮小量的基本概念方面是較混亂的，完成無窮小分析之后，還需要證明其乃是囊括有邏輯矛盾的。1734年，英國數學家貝克萊猛烈抨擊了當時的微積分學說，比如他對牛頓提出了質疑，在計算 的導數時，先把x的值設定為一個非0的增量Δx，利用 ，便可得到 ，被Δx除，得2x+Δx，最后卻突然設定Δx=0，得出導數是2x，這是依據雙重錯誤而得到的正確但不科學的結果。在牛頓的理論中，其一會將無窮小量說成0，一會又非0。在數學史上，通常將貝克萊的問題統稱為“貝克萊悖論”。基于當時的無窮小量應用來講，其須為0，又非0，但基于形式邏輯來考量，其矛盾特質更為凸顯。發現此悖論，在當時引發了比較嚴重的思想混亂，由此引發了整個數學史進程中的第二次危機，使得微積分基礎理論的爭論持續了將近200年。隨后，一些數學家開始著手多角度研究，試圖重新劃定微積分，使其在可靠基礎上重新建立。經過柯西、魏爾斯特拉斯、拉格朗日、伯努利家族等數學家的不斷努力，最后終于把微積分基礎理論歸結為實數理論，而在上個世紀70年代時，建立了較完整的實數體系，另外，還構建了嚴謹、可靠的實數理論與極限理論，為分析學發展奠定了堅實基礎。通過將此類數學悖論講解于學生，學生可以從中了解到悖論是數學發展的動力源泉，激發學生的深入學習數學興趣，使其更加積極的參與到了解第一次、第三次數學危機中，更加全面的了解整個數學發展過程。

四、結語

綜上，在高等數學課堂教學當中融入數學史，除了能夠達到強化數學人文教育的目的之外，還能使整個數學教學課堂變得不再無味與枯燥，還能較好的激發學生的學習興趣，更加全面、深入、細致的掌握數學內容，為后續知識學習奠定扎實基礎。

參考文獻

[1]王萍.基于HPM視角下的高職院校高等數學教學改革研究[J].遼寧師專學報（自然科學版），2015，17（1）：13-15.

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