高考全國(guó)卷《數(shù)列》命題規(guī)律分析

安徽 朱 益

高考全國(guó)卷《數(shù)列》命題規(guī)律分析

安徽 朱 益

一、新課標(biāo)6年高考數(shù)列考點(diǎn)分析

年份文科卷理科卷題型題號(hào)分值考點(diǎn)題型題號(hào)分值考點(diǎn)2011解答1712等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，等差數(shù)列的求和解答1712等比數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和2012選擇125數(shù)列的基本概念選擇55等比數(shù)列基本量的計(jì)算填空145等比數(shù)列基本量的計(jì)算填空165數(shù)列的基本概念2013Ⅰ卷Ⅱ卷解答解答1712等差數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和等差數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和Ⅰ卷Ⅱ卷選擇填空選擇填空7143165555等差數(shù)列基本量的計(jì)算等比數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列基本量的計(jì)算數(shù)列中的最值問題2014Ⅰ卷Ⅱ卷解答1712求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和選擇55等差數(shù)列基本量的計(jì)算填空165數(shù)列的基本性質(zhì)Ⅰ卷Ⅱ卷解答1712等差數(shù)列的定義數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和2015Ⅰ卷Ⅱ卷選擇填空選擇713595555等差數(shù)列基本量的計(jì)算等比數(shù)列基本量的計(jì)算等差數(shù)列基本量的計(jì)算等比數(shù)列基本量的計(jì)算Ⅰ卷Ⅱ卷解答選擇填空174161255數(shù)列的通項(xiàng)與求和等比數(shù)列基本量的計(jì)算數(shù)列的求和2016Ⅰ卷解答1712等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列求和Ⅰ卷選擇35等差數(shù)列基本量的計(jì)算填空155數(shù)列中的最值問題Ⅱ卷解答1712等差數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列與函數(shù)的綜合Ⅱ卷解答1712數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和Ⅲ卷解答1712等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)Ⅲ卷解答1712等比數(shù)列的證明，通項(xiàng)，求和

二、全國(guó)高考數(shù)列試題特點(diǎn)及命題規(guī)律

1.從地位上看：數(shù)列在全國(guó)卷的地位不如有些省份高(如江蘇，安徽有時(shí)以壓軸題出現(xiàn))，立足基礎(chǔ)，考查基本概念、基本公式和常用方法.

2.從題型上看：“兩小”或“一大”.“兩小”是指一道選擇題，一道填空題，或者兩道都是選擇題，一道屬于容易題，一道屬于中檔題，兩題分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為載體，“兩小”中必有一題是關(guān)于等差或等比數(shù)列基本量的計(jì)算，兩題分值共10分；“一大”指的是一道解答題，位于第17題，是解答題的第一題，有兩個(gè)小問，文科題目條件大多是給出基本量的幾個(gè)等式，兩個(gè)小問分別涉及等差和等比數(shù)列，第一問求通項(xiàng)，第二問求和；理科題目條件一般以遞推公式形式給出，其中涉及通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn時(shí)較多，第一問求數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二問根據(jù)第一問求出的通項(xiàng)公式構(gòu)造新的數(shù)列，再求新數(shù)列的和，有時(shí)求和后再證明不等式，分值均為12分. “兩小一大”不定期交替出現(xiàn)，沒有出現(xiàn)偏題和怪題，所以同學(xué)們復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，以靈活運(yùn)用基本性質(zhì)和掌握基本方法為主，尤其是剛參加全國(guó)高考省份的考生，不能受自主命題的影響人為地拔高難度.

3.從難度上看：以容易題和中檔題為主，選擇題在靠前位置，比較容易，填空題位置不確定，有時(shí)帶有綜合性，解答題位于第一題，難度不大.

4.從考點(diǎn)上看：重點(diǎn)考查等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，數(shù)列求和的常用方法，數(shù)列中的最值問題，特定項(xiàng)成等比或等差數(shù)列的問題等.

三、全國(guó)高考數(shù)列重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)、冷點(diǎn)分析

(一)數(shù)列的基本概念與性質(zhì)

【點(diǎn)評(píng)】這類問題主要是通過觀察分析出數(shù)列的規(guī)律，寫出數(shù)列的某一項(xiàng)或某些項(xiàng)的和.常考周期數(shù)列或數(shù)列的某些項(xiàng)是特殊數(shù)列.《考試說明》指出“了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)”，而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一個(gè)非常重要的性質(zhì)，所以數(shù)列的單調(diào)性，以后高考可能有所涉及.例如在選擇題中判斷數(shù)列增減性，還可以給出數(shù)列的單調(diào)性，求參數(shù)的值或取值范圍.注意數(shù)列的單調(diào)性和一般連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性還是有區(qū)別的，可以借助于an與an+1的大小關(guān)系來判斷.

【變式訓(xùn)練1】(2012·全國(guó)新課標(biāo)理)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項(xiàng)和為________.

【解析】當(dāng)n=2k-1時(shí)，a2k-a2k-1=2(2k-1)-1，當(dāng)n=2k時(shí),a2k+1+a2k=2(2k)-1,于是a2k+1+a2k-1=2，a2k+a2k-2=8k-8，所以相鄰兩奇數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成常數(shù)數(shù)列，相鄰兩偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成等差數(shù)列，S60=2×15+8(2+4+…+30)-8×15=1 830.

(二)等差數(shù)列和等比數(shù)列

1.等差等比數(shù)列基本量的計(jì)算

【典例2】(2016·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8，則a100=

( )

A.100 B.99 C.98 D.97

【典例3】(2013·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( )

【點(diǎn)評(píng)】 等差數(shù)列的基本量有a1,d,n,an,Sn；等比數(shù)列的基本量有a1,q,n,an,Sn，主要利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列出方程或方程組解決.如果該年高考數(shù)列題型是以兩道小題形式出現(xiàn)，則在選擇題中考查等差或等比數(shù)列基本量的計(jì)算可能性非常大，屬于容易題.文科有時(shí)選擇題與填空題兩題都考等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算.同學(xué)們只要熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，留意計(jì)算的準(zhǔn)確性，解決這類問題是不會(huì)有什么困難的.冷點(diǎn)是數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合，先閱讀中國(guó)古典數(shù)學(xué)名著中的一段話后設(shè)置問題再求數(shù)列的基本量.

【變式訓(xùn)練2】(2015·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ文)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a3+a5=3，則S5=

( )

A.5 B.7 C.9 D.11

( )

2.等差等比數(shù)列的定義

【典例4】(2014·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ為常數(shù).

(Ⅰ)證明：an+2-an=λ；

(Ⅱ)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.

【解析】(Ⅰ)證明：由anan+1=λSn-1得an+1an+2=λSn+1-1，兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1，

因?yàn)閍n+1≠0，所以an+2-an=λ.

(Ⅱ)由題設(shè)知a1=1，a2=λ-1，由(Ⅰ)知a3=λ+1，若存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，只需a1，a2,a3成等差數(shù)列，所以2a2=a1+a3，解得λ=4,

因此存在λ=4使得{an}為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】這類問題主要是由遞推公式證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，或探索是否能構(gòu)成等差(等比)數(shù)列.冷點(diǎn)是從數(shù)列中抽出部分項(xiàng)證明其構(gòu)成等差或等比數(shù)列，進(jìn)而解決其它問題.

【變式訓(xùn)練4】 (2016·全國(guó)新課標(biāo)Ⅲ理)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan，其中λ≠0.

(Ⅰ)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

3.數(shù)列中的最值問題

【典例5】(2013·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0,S15=25，則nSn的最小值為________.

因?yàn)閒(6)=-48，f(7)=-49，

所以當(dāng)n=7時(shí)，nSn取得最小值為-49.

【變式訓(xùn)練5】(2016·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為________.

(三)由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

因?yàn)閍ngt;0，所以a1=3.

①-②得(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)，因?yàn)閍ngt;0，所以an-an-1=2.

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，

所以an=2n+1.

【點(diǎn)評(píng)】這類問題是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，如果高考數(shù)列是一道大題，則題目的條件基本是以遞推公式給出，第一小問證明是等差數(shù)列或等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式，第二小問則根據(jù)第一小問求出的通項(xiàng)公式構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列，求這個(gè)新數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求{bn}的前n項(xiàng)和.

安徽省桐城市第八中學(xué))