抽象函數性質中的易錯問題

河北 溫和群

抽象函數性質中的易錯問題

河北 溫和群

抽象函數因為沒有給出具體的函數解析式所以無法利用熟悉的具體函數的性質來進行研究，因而這一類問題對學生來講非常容易出錯,而這一類問題往往是高考考查的難點.下面就抽象函數的定義域、值域、對稱性、奇偶性、周期性等問題舉例說明，只要掌握了分析這類問題的規律，解決起來會非常輕松.

問題1：(1)已知函數y=f(x)的定義域為[1,2]，則函數y=f(2x)的定義域為________.

(2)已知函數f(2x)的定義域為[1,2]，則函數f(x)的定義域為________.

答案：(1)[0,1]；(2)[2,4].

分析(1)：定義域指的是式子中x的取值范圍，2x占據了f(x)中x的位置，所以應滿足1≤2x≤2，解得0≤x≤1.

分析(2)：由x的取值范圍求出2x的范圍2≤2x≤4，而f(x)中的x占據了2x的位置，所以應滿足它的范圍，即[2,4].

問題2：已知函數y=f(x)的值域為[1,2]，則函數y=f(x+m)，mgt;0的值域為________.

答案：[1,2]

分析：函數y=f(x+m)的圖象是由函數y=f(x)的圖象向左平移m個單位得到的，圖象的左右平移不會改變函數的值域.

問題3：對于函數y=f(x)，若滿足f(1+x)=f(1-x)，則y=f(x)的圖象關于________對稱.

答案：直線x=1

分析：這是一個函數圖象自身的對稱問題.1+x與1-x兩個值關于1是對稱的，而所對應的函數值卻相等，所以說明函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.

問題4：(1)函數y=f(1+x)與函數y=f(1-x)的圖象關于________對稱.

(2)函數y=f(x-1)與函數y=f(1-x)的圖象關于________對稱.

答案：(1)直線x=0(y軸)；

(2)直線x=1.

分析(1)：函數y=f(1+x)的圖象可以看作是由函數y=f(x)的圖象向左平移一個單位得到的；函數y=f(1-x)的圖象可以看作是由函數y=f(-x)向右平移一個單位得到的，而函數y=f(x)與函數y=f(-x)的圖象關于y軸對稱，所以會得到結論.

分析(2)：函數y=f(x-1)的圖象可以看作是由函數y=f(x)的圖象向右平移一個單位得到的；函數y=f(1-x)的圖象可以看作是由函數y=f(-x)向右平移一個單位得到的，而函數y=f(x)與函數y=f(-x)的圖象關于y軸對稱，均向右平移后會關于直線x=1對稱.

問題5：(1)若函數y=f(3x+1)是偶函數，則函數y=f(x)的圖象的對稱軸是________.

(2)若函數y=f(x)是偶函數，則函數y=f(3x+1)的圖象的對稱軸是________.

分析(1)：將函數y=f(3x+1)的圖象上所有點的橫坐標都拉伸為原來的三倍、縱坐標不變，會得到函數y=f(x+1)的圖象，此時對稱軸仍為y軸，然后再將圖象向右平移一個單位就會得到函數y=f(x)的圖象，此時對稱軸變為直線x=1.

問題6：(1)若函數y=f(x)為偶函數，則下列結論成立的是________.

A.f(x+1)=f(-x-1)

B.f(x+1)=f(-x+1)

(2)若函數y=f(x+1)為偶函數，則下列結論成立的是________.

A.f(x+1)=f(-x-1)

B.f(x+1)=f(-x+1)

答案：(1)A；(2)B

分析(1)：既然函數y=f(x)為偶函數，則互為相反數的兩個量x+1與-x-1被對應法則f作用，所得的函數值相等，故選A.

分析(2)：設F(x)=f(x+1)，則F(x)為偶函數，所以有F(-x)=F(x)，即f(-x+1)=f(x+1)，故選B.

問題7：定義在R上的函數y=f(x)有反函數，則函數y=f(x+a)+b與函數y=f-1(x+a)+b的圖象間的關系是________ .

答案：關于直線y=x+a+b對稱.

分析：y=f(x+a)+b可看作是由y=f(x)的圖象變換得到：y=f(x)→y=f(x+a)→y=f(x+a)+b，y=f(x)的圖象先向左平移a個單位，再向上平移b個單位；y=f-1(x+a)+b可看作是由y=f-1(x)的圖象變換得到：y=f-1(x)→y=f-1(x+a)→y=f-1(x+a)+b，y=f-1(x)的圖象先向左平移a個單位，再向上平移b個單位，由于函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，所以平移時對稱軸的位置也隨之發生變化，所以函數y=f(x+a)+b與y=f-1(x+a)+b的圖象關于直線y=x+a+b對稱.

由此我們可以體會：無論給出的抽象函數的形式有多么復雜，它總可以由最基本的函數y=f(x)的圖象變換得到，掌握了這個通法，便可以解決這種類型的問題.

問題8：對于函數y=f(x)：①f(x)為偶函數；②f(x)的圖象關于直線x=a對稱；③f(x)是以T=2a為周期的周期函數.

對于這三個性質y=f(x)任意滿足兩個，可否推出第三個一定成立呢？

答案：①②?③，①③?②，②③?①

分析：①②?③：

因為函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱,

所以f(a+x)=f(a-x)，所以f(-x)=f(2a+x).

又因為f(x)為偶函數,所以f(-x)=f(x),

所以f(x)=f(2a+x),

所以函數y=f(x)是以T=2a為周期的周期函數.

①③?②：

因為函數y=f(x)是以T=2a為周期的周期函數,

所以f(x)=f(x+2a).

又因為函數y=f(x)為偶函數,所以f(x)=f(-x).

所以f(-x)=f(x+2a)，將等式中所有的x換成x-a可得到f(a-x)=f(a+x),

所以f(x)的圖象關于直線x=a對稱.

②③?①：

因為函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱,

所以f(a+x)=f(a-x)即f(-x)=f(2a+x),

又因為函數y=f(x)是以T=2a為周期的周期函數.

所以f(x)=f(x+2a),所以f(x)=f(-x),所以函數y=f(x)為偶函數.

問題9：將問題8中的①改為奇函數，②不變，③將怎樣變化？對于這三個性質y=f(x)任滿足兩個，可否推出第三個一定成立呢？

答案：③將變為：f(x)是以T=4a為周期的周期函數.

且只有①②?③成立，其他兩個不成立，可舉反例說明.

分析：①②?③：

因為函數f(x)的圖象關于直線x=a對稱,

所以f(a+x)=f(a-x)即f(-x)=f(2a+x).

又因為函數y=f(x)為奇函數,所以-f(x)=f(-x),

所以f(2a+x)=-f(x)，

所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x),

所以函數y=f(x)是以T=4a為周期的周期函數.

舉反例：函數y=tanx的圖象特征可以說明①③不能推出②；函數y=sinx+1的圖象特征可以說明②③不能推出①.

河北省滄州市第一中學)