打破常規(guī) 巧妙秒殺
——兩種策略妙解圓錐曲線

四川 楊鐵坪

打破常規(guī) 巧妙秒殺
——兩種策略妙解圓錐曲線

四川 楊鐵坪

圓錐曲線在高考中是重要考點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn).而選擇填空題中圓錐曲線的考查歷年來(lái)備受命題人員的青睞.在圓錐曲線解題中若能巧妙應(yīng)用“特殊”解“一般”的數(shù)學(xué)思想、定義與幾何相結(jié)合的思想，將事半功倍.下面分別通過(guò)幾道高考實(shí)例，來(lái)探究求解圓錐曲線小題的兩種策略.

一、“特殊”到“一般”，化繁為簡(jiǎn)

在圓錐曲線中，求解離心率的題目通常落腳在a,b,c三者的關(guān)系，在解題過(guò)程中，參數(shù)太多對(duì)考場(chǎng)上緊張的考生來(lái)說(shuō)是不利的，那么是否可以通過(guò)一些手段來(lái)減少參數(shù)，化繁為簡(jiǎn)解決問(wèn)題呢？接下來(lái)以2012年高考新課標(biāo)的一道題為例進(jìn)行探究.

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因?yàn)椤螾F1F2=30°，

所以∠PF2D=60°,∠DPF2=30°，

由△F2PF1是底角為30°的等腰三角形?∠PF2D=60°，|PF2|=2c且PD⊥x軸，則DF2=c，

【評(píng)注】方法一：屬于常規(guī)解法，可以看出參數(shù)特別多，稍顯繁雜；方法二：取“a=1”，明顯簡(jiǎn)便許多，這里我們運(yùn)用了特殊到一般的思想，至于在應(yīng)用過(guò)程中“特殊化”參數(shù)與“特殊化”值的選取，需要根據(jù)題目靈活變化.下面再通過(guò)兩道題目來(lái)驗(yàn)證此方法的有效性.

因?yàn)锳M=AN=b且∠MAN=60°，不妨設(shè)b=1，

聯(lián)立解得a2=3?c2=a2+b2=4，

二、定義與幾何，妙解題目

定義與幾何的考查在試卷中層出不窮，因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中，善于利用定義與幾何的關(guān)系，通過(guò)定義與幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)于解決圓錐曲線問(wèn)題有著不可小覷的作用.

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【評(píng)注】方法一：常規(guī)辦法，設(shè)直線解點(diǎn)，找?guī)缀侮P(guān)系構(gòu)造方程，思路簡(jiǎn)單，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜；方法二：結(jié)合橢圓定義及性質(zhì)，運(yùn)用幾何關(guān)系，快速看出tan∠EAB與tan∠MBA的關(guān)系.定義與幾何的結(jié)合快速解出答案，大大節(jié)約了時(shí)間.此處列舉幾種常考幾何關(guān)系：①對(duì)稱關(guān)系(橢圓，雙曲線等圓錐曲線均具有對(duì)稱性)；②圓直徑所對(duì)的圓周角是直角；③拋物線的定義:拋物線上的點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為d，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，則d=|MF|.下面我們運(yùn)用“方法二”來(lái)做幾道練習(xí)題.

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A.3 B.4

C.5 D.6

【解析】如圖所示，易知EF∥OM,EF∥ON,

且|OA|=|OB|,|AF|=a+c,|BF|=c-a，

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【解析】如圖所示，過(guò)焦點(diǎn)F作MN的垂線,垂足為C，F(xiàn)M的傾斜角∠MFx=60°且MN⊥y軸?∠FMN=60°，

由拋物線定義知|MN|=|MF|且|NC|=2|OF|=2，

所以△MNF為等邊三角形,則C為MN中點(diǎn)，

所以|MN|=2|NC|=4，

【變式訓(xùn)練3】(2017·全國(guó)卷Ⅱ理)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=________．

四川省西華師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院)