引導(dǎo)自主建構(gòu)，高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不等式”

江蘇省啟東市大江中學(xué) 黃振華

引導(dǎo)自主建構(gòu)，高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不等式”

江蘇省啟東市大江中學(xué) 黃振華

《不等式》是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容，本文針對(duì)不等式各部分的教學(xué)內(nèi)容與知識(shí)點(diǎn)，淺談幾點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生自主探究知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)體系的策略，旨在提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，深化其數(shù)學(xué)思維。

高中數(shù)學(xué)；不等式；類比；轉(zhuǎn)化

建構(gòu)主義理論的核心是強(qiáng)調(diào)主動(dòng)建構(gòu)意義，強(qiáng)調(diào)學(xué)生是認(rèn)知主體，是意義的主動(dòng)構(gòu)建者，這與新課標(biāo)“以生為本”的教育理念不謀而合。傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師比較重視教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)，側(cè)重研究“如何教”的問(wèn)題，致使學(xué)生在課堂上被動(dòng)學(xué)習(xí)，不能實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)意義。因此筆者認(rèn)為，當(dāng)代教師應(yīng)當(dāng)改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，注重引導(dǎo)學(xué)生自主習(xí)得知識(shí)，理解并掌握基本的數(shù)學(xué)方法與思想，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、類比生活，建立模型

教育學(xué)家陶行知先生曾提出過(guò)“教育即生活”這一理論，主張只有當(dāng)教育與生活融為一體時(shí)，才是真正的教育。不等式與實(shí)際生活有著非常緊密的聯(lián)系，筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)與生活相關(guān)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象成不等式的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

比如筆者在對(duì)《不等關(guān)系與不等式》這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，為了讓學(xué)生們深刻體會(huì)不等關(guān)系存在的普遍性以及研究的必要性，筆者設(shè)計(jì)了探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用不等式表示出相關(guān)問(wèn)題的不等關(guān)系。例如，小紅的身高是161cm，小明的身高是172cm，學(xué)生們用不等式表示為161＜172；限速60km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)60km/h，學(xué)生們寫(xiě)成不等式為v≤60；某種雜志原來(lái)以每本2元的價(jià)格銷售，可售出8萬(wàn)本，單價(jià)每提高0.1元，銷售量減少2000本，若雜志價(jià)格調(diào)整后為x元，如何用不等式表示雜志的銷售收入不低于18萬(wàn)元呢？學(xué)生們成功探討出答案為：學(xué)生們用不等式把上述問(wèn)題中的不等關(guān)系表示出來(lái)的過(guò)程，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類比生活，建立相應(yīng)的不等式數(shù)學(xué)模型，深化了學(xué)生們對(duì)不等式定義的理解，同時(shí)也讓學(xué)生們感受到日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，進(jìn)而體會(huì)建立抽象不等模型的重要性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

二、嘗試轉(zhuǎn)化，從形到數(shù)

解不等式是《不等式》這一章節(jié)的基本內(nèi)容，學(xué)生們只有掌握了不等式的運(yùn)算方法，才能更好地應(yīng)用不等式去解決具體問(wèn)題。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索不等式的解法，通過(guò)看圖象、找解集，培養(yǎng)學(xué)生從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化能力。

比如筆者在對(duì)《一元二次不等式及其解法》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生們自主探究一元二次不等式x2-5x≤0的解集。剛開(kāi)始，學(xué)生們都感到無(wú)從下手，于是筆者提示學(xué)生們：“我們之前學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)，題目中的不等式是否能與二次函數(shù)建立起聯(lián)系呢？”在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生們首先做出了y=x2-5x的圖象，如圖1所示。緊接著學(xué)生通過(guò)觀察圖象得到了自變量x與函數(shù)值y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)x=0或者x=5時(shí)，y=0；當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞0或x＞5時(shí)，y＞0。由此學(xué)生們得到了不等式x2-5x≤0的解集為{x|0≤x≤5}。緊接著，筆者讓學(xué)生們探究一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集，學(xué)生們結(jié)合不等式x2-5x≤0的求解過(guò)程，由特殊到一般，通過(guò)繪制二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，成功探究出ax2+bx+c＞0在 ＞0， =0， ＜0（ =b2-4ac)三種情況下不等式的解集。

圖1

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法，成功探究出一元二次不等式的解法，完成了由特殊到一般的抽象思維過(guò)程，提高了他們的自主探究能力，取得了很好的教學(xué)效果。

三、多元整合，發(fā)散思維

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性、系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，很多數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著緊密的聯(lián)系，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)不等式時(shí)，也不能孤立地學(xué)習(xí)。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不等式與方程、函數(shù)、三角、解析幾何等知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)他們對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行多元整合，形成知識(shí)體系，發(fā)散自身思維。

比如筆者在對(duì)《二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)了求解一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題所涉及的知識(shí)要點(diǎn)。例如，首先要用方程的思想，將問(wèn)題中的未知參數(shù)設(shè)為自變量；然后需要對(duì)問(wèn)題條件進(jìn)行分析，得到用不等式組表示的自變量的約束條件以及目標(biāo)函數(shù)；緊接著需要利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)做出圖象，得到可行域；最后觀察圖形，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)代數(shù)式的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)在可行域上的最優(yōu)解。此外，學(xué)生們還總結(jié)了常見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)的類型，包括斜率型，目標(biāo)函數(shù)的形式為截距型，目標(biāo)函數(shù)的形式為Z=Ax+By；距離型，目標(biāo)函數(shù)的常見(jiàn)形

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生們對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行整合，促進(jìn)學(xué)生們建構(gòu)了一個(gè)完整的知識(shí)體系，增強(qiáng)了學(xué)生們利用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想建立數(shù)學(xué)模型，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法解決應(yīng)用問(wèn)題的意識(shí)，深化了他們的數(shù)學(xué)思維。

綜上所述，筆者通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類比生活、嘗試轉(zhuǎn)化、多元整合，使學(xué)生們完成了知識(shí)的自主建構(gòu)，高效學(xué)習(xí)了不等式的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)也深化了他們的數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合思想與發(fā)散性思維，顯著提高了課堂教學(xué)的質(zhì)量。總之，當(dāng)代教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)注重凸顯學(xué)生的主體地位，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，為他們提供一個(gè)自主探究、合作交流的平臺(tái)！

[1]溫皓然.含有兩個(gè)及以上絕對(duì)值不等式的數(shù)軸解題法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（27）.

[2]王宇丹.幾種類型的不等式證明[J].理科考試研究，2014（23）.