數學專業《復變函數》研究型教學初探

原子霞

摘要：《復變函數》是數學專業學生的一門專業基礎課，本文基于對該課程研究型教學的探索和實踐，從教學內容和教學方法，以及增加課外上機操作項目等方面對復變函數課程教學進行改革探索，并給出若干具體的實踐案例。

關鍵詞：復變函數；研究型教學；教學內容；教學方法

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0092-02

一、引言

近年來，以訓練、提高學生的創新能力和創新思維，加強創新型人才培養為目的的研究型教學模式在我國很多高校得到提倡和實踐。這種教學模式起源于20世紀初美國的中小學課程，1998年美國博耶委員會明確提出把研究型教學作為本科教學的要求，形成了研究型教學模式[1，2]。研究型教學的具體實施規則并不統一，在某種程度上取決于對“研究”的理解[1，2]。但形成普遍共識的是，研究型教學模式是以知識為依托，把能力培養作為主要目標，在教學過程中引導學生發現問題，思考并解決問題，達到鍛煉思維和培養能力的教學模式。

復變函數是數學專業的一門專業基礎課程，在整個課程體系中有十分重要的作用。一方面，復變函數在具有承上啟下的功能。復變函數作為數學分析的后繼課程，是以實函數為基礎而產生和發展起來的，很多定義、性質與實函數既有相似之處，但又與實函數有本質性的區別。同時，復變函數是學習數理方程、泛函分析等課程的基礎。另一方面，復變函數的理論和方法滲透到多個數學分支和其他應用學科，如物理學相關領域。如何讓學生學好復變函數這門基礎課程，是教師們都非常關心的問題。本文作者結合自己在教學中的體會，對復變函數研究型教學進行了探討。

二、復變函數研究型教學的幾點嘗試

（一）學生為主體、教師為主導的“大班上課、小班研討”教學形式

教師和學生是教學過程的雙重主體。教學過程不僅僅是老師的傳道授業，更應該針對學生主動學習而無法解決問題時的解惑。從學生來說，不思考就無法發現問題，不能問出有價值的問題。從教師來說，學生人數多，在有限時間內僅能回答少量同學問題，絕大多數同學難以與教師建立直接的溝通和聯系。傳統的教學模式，學生只是被動地接受教師課堂灌輸的大量理論和方法，即使參與教學過程，也只是簡單地回答教師的問題。課堂上始終是消極的學習情緒和被動的學習地位。大部分學生的學習積極性和創造性受到了某種程度的抑制。在大學階段，同學們的思維正處于活躍和發達的階段，心智已經成熟，具備一定的自學能力，發現問題和解決問題是可行的。所以作者改變以往教學模式，實行“大班上課、小班研討”的形式授課，即將學生以30人左右分為數個小班，教學內容中的大部分、主要是理論性強的部分內容由老師在課堂講授，部分簡單的教學內容由學生在老師指導下自學，然后在小班課堂上進行研討。

例如：在講授留數定理和留數的求法時，我們只介紹了留數的定義，而把留數定理的證明和留數計算公式的推導這些工作提前布置給學生，讓學生自愿報名在研討課上講授，結果發現教學效果良好。表現在以下三個方面：第一，課堂氣氛輕松活躍。因為是學生自己在課堂上講授，其他同學沒有距離感，不會感覺學習枯燥乏味，而是像參加活動一樣輕松愉快地去接受和聆聽。第二，加深了對知識的情景記憶。多位講課的學生輪流上臺講解時，其講解風格都有鮮明的個人特征，使其他學生把相應部分知識與講解人的言談舉止聯系起來，有情景記憶的因素在內，加深了對知識的理解和記憶。第三，鍛煉了學生的探索能力和表達能力。

（二）加強經典理論的歷史性教學，傳播數學文化

英國數學家J.Fauvel認為數學史可以改變學生的學習觀、激發學生的學習興趣，對于數學教學有較為重要的提升作用[3]。滲透了數學史的數學教學，學生獲得的不僅是數學知識，還有過程、方法的體驗及情感、科研態度、價值觀的教育。數學專業復變函數課程中理論較多，只介紹書上的內容就很容易讓學生感覺枯燥無趣。為此，本文作者在復變函數教學中經常針對各節要講授的經典定理，介紹相關數學家百折不撓的毅力和孜孜不倦的探索精神與無與倫比的數學貢獻，學生可以從前人對科學的探索中汲取營養，獲得鼓勵，增強對科學研究的向往之情。譬如，在講授冪級數收斂的Abel定理[4]時，我們在課堂上簡單介紹了數學家Able的生平遭遇和他對數學發展的重大貢獻，激發了學生對分析學的研究興趣，也了解了數學史的一段發展過程，感受到數學文化的魅力。

（三）“承前啟后”，對比式教學

復變函數是數學分析的后繼課程，復變函數中的許多概念與數學分析中的內容類似，但又有區別，我們把二者進行對比，指出差別，有助于學生理解所學內容。例如復變函數中函數在一點處極限的定義和數學分析中一元函數極限的定義在形式上是一致的，但復變函數極限的定義要求更苛刻。這導致了復變函數有許多獨有的性質和定理，這些性質和定理就是復變函數與數學分析的不同之處，是復變函數自己獨有的魅力，也是學生學習的重點和難點。

另一方面，復變函數又是數理方程的先修課程，復變函數和數理方程中有相似的結論和定理。例如復變函數中有解析函數的柯西積分表達式和劉維爾定理，在數理方程中調和函數也有類似的性質。講授這部分內容時，可以引導學生將教材中的定理和結論進行引申推廣，這是一個發現的過程，更是一個收獲驚喜的過程，既可以培養學生的研究意識和研究能力，又可以讓學生對后續課程中的內容有預先的了解，認識各門課程內容之間的聯系和差異。

（四）增加課外上機操作，將應用融入課程教學

眾所周知，學以致用是激發學生學好一門課程的動力。雖然數學是自然科學的皇冠，但是基礎課程教材涉及到的應用實例相對較少，因為教材本身更側重于理論的闡述。因此同學費盡心力學習了理論、熟悉了定理及公式的推導過程，卻不知該如何應用，會使學生對這門課程感覺枯燥乏味，逐步喪失學習興趣。在復變函數這門課程中重視應用教學是非常必要的。Matlab軟件具有強大的數值計算和圖形處理能力，且易學易用，借助Matlab軟件進行復變函數運算[5]，把數學實驗融入復變函數課程教學是一種新的教學模式。例如，在計算復數的實部、虛部或輻角時，用Matlab數學軟件計算時，只需調用real（）、image（）或angle（）等簡單函數命令即可，極大縮短運算時間。又比如，復變函數可以轉化為初等函數，利用Matlab軟件進行三維曲面繪圖，直觀觀察函數圖形，幫助理解函數的性質，加深了對理論知識的理解。

（五）適當運用多媒體提高教學效率和教學質量

當前，多媒體教學已經成為高校課堂的主流。但復變函數這門課程，理論性強、概念抽象、證明復雜，如果過度利用多媒體演示證明和推導，給學生思考和回味的時間就會很少。那么多媒體教學就不適合復變函數嗎？當然不是。對于有些內容，比如復球面的建立這一節，利用多媒體演示動態的測地投影圖形，用直觀的圖形演示遠比只是在黑板上用粉筆演示要更有趣和容易理解。

三、結束語

通過數年的復變函數研究型教學實踐，我們也深刻認識到，研究型教學確實是一種全方位、立體式的教學方式，不能僅靠幾點教學改革實踐就能完全做好。復變函數的研究型教學改革是一個需要不斷探索的過程，需要教師全身心的投入，在教學內容和教學方法上認真琢磨、合理安排，在培養學生的推理、歸納、演繹和創新能力上下功夫，讓學生感受到復變函數課程的魅力。復變函數的研究型教學的探索仍需要不斷的深入。

參考文獻：

[1]汪霞.大學研究型教學中的研究[J].教育發展研究，2007，（22）：43-46.

[2]盧德馨.關于研究型教學的進一步探討[J].中國高等教育，2004，（21）：24-25.

[3]李文嫻.淺析大學數學教學存在的問題及對策[J].中國成人教育，2014，（18）：182-184.

[4]鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]石辛民，翁智.復變函數及其應用[M].北京：清華大學出版社，2012.endprint