一個概率問題的解決及其啟示

張紅兵 龔衛東

(1.廣州大學數學系 510006； 2.廣東省深圳高級中學 518034)

有一道不起眼的概率題，由于一個不經意間的質疑，使它成為困擾學習者的難題.在嘗試解決這個問題的過程中，我們找到了不同的解決方案，并深受啟發，受益良多.

1 問題的提出

學習了古典概型后，一次測試中有這樣一道習題：拋擲一枚硬幣，若出現正面記1分，出現反面記2分.連續拋擲多次，恰好得3分的概率為多少？

無奈之下，大家就采納了教師A的意見,將問題限定在“連續拋擲3次”，但是要是不限定拋擲次數，無疑教師B的做法也是對的.這究竟是怎么回事呢？

2 問題的初步解決——由賽制得到的啟發

要回答上面的問題，我們聯想到了一個比賽問題：

勢均力敵的甲、乙兩人進行三局二勝制的比賽，求甲獲勝的概率.

解法2甲獲勝有兩種情形：

解法3考慮下表

三局比賽結果實際比分結果(勝,勝,勝)2:0(第3局沒有實際發生)勝(勝,勝,負)2:0(第3局沒有實際發生)勝(勝,負,勝)2:1勝(勝,負,負)1:2負(負,勝,勝)2:1勝(負,勝,負)1:2負(負,負,勝)0:2(第3局沒有實際發生)負(負,負,負)0:2(第3局沒有實際發生)負

我們發現解法2完全類似于教師B的解法，于是考慮把解法3運用于開頭的問題，從而產生下面的虛擬解法(假設連續拋擲3次硬幣)：

三次拋擲結果三次累計得分結果(正,正,正)1-2-33(正,正,反)1-2-44(正,反,正)1-3-4(第3次沒有實際發生)3(正,反,反)1-3-5(第3次沒有實際發生)3(反,正,正)2-3-4(第3次沒有實際發生)3(反,正,反)2-3-5(第3次沒有實際發生)3(反,反,正)2-4-55(反,反,反)2-4-66

這樣，我們用虛擬解法解決了樣本空間的數目問……