近幾年中考數學(北京卷)幾何綜合題綜述

王亮亮

(北京教育考試院 100083)

1 引言

北京中考數學幾何綜合題向來以創新和難度著稱，一直引起廣大師生的關注.一方面，試題對考生的幾何基礎、推理能力、抽象能力和論證能力等方面具有很高的要求；另一方面，試題背景新穎、內涵豐富思想深刻、方法質樸，對考生具有很好的區分功能.同時，也為初中數學教學指明了方向.但通過調研聽課發現，由于試題的難度較大，很多教師在講解時遇到了一些困難，如試題的內涵闡述不全面等.本文將以2012，2014，2015年幾何綜合題為例，對近六年的幾何綜合題做一次總結，與大家分享試題背后的思想和試題對教學的引導作用，希望能給一線教師提供一點經驗.

2 2012，2014，2015年試題呈現

2012年在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ.

(1)若α=60°且點P與點M重合(如圖1)，線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數；

(2)在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大小(用含α的代數式表示)，并加以證明；

圖1

圖2

(3)對于適當大小的α，當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B，M重合)時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出α的范圍.

2014年在正方形ABCD外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F.

(1)依題意補全圖1；

(2)若∠PAB=20°，求∠ADF的度數；

(3)如圖2， 若45°<∠PAB<90°，用等式表示線段AB，FE，FD之間的數量關系，并證明.

圖1

圖2

2015年在正方形ABCD中，BD是一條對角線.點P在射線CD上(與點C，D不重合)，連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于點H，連接AH，PH.

(1)若點P在線段CD上，如圖1，

①依題意補全圖1；

②判斷AH與PH的數量關系與位置關系并加以證明；……