在限定條件下圓錐曲線的內接梯形的作法

吳 波 鄧茂生

(1.重慶市長壽龍溪中學 401249；2. 重慶市長壽區國土局 401220)

文[1]對在限定條件下頂點均在雙曲線上的梯形作了探究，結果如下(表述與原文略有不同)：

命題1[1]如圖1，設A1是雙曲線C上給定的一點，M是雙曲線C外部且不在漸近線上的任一點，若直線A1M與雙曲線C的同一支交于另一點A2，則存在以A1為頂點的梯形A1A2A3A4，且其余三頂點均在雙曲線上，M為梯形兩腰所在直線的交點．

圖1

命題2[1]如圖1，設A1是雙曲線C上給定的一點，M′是雙曲線C外部且不在漸近線上的任一點，若直線A1M′與雙曲線C的另一支交于另一點A3，且M′不是A1A3的中點，則存在以A1為頂點的梯形A1A2A3A4，且其余三頂點均在雙曲線上，M′為梯形對角線的交點．

當點M在雙曲線內部時，文[1]還有兩個類似結論，此處略．

在這之前，文[2]對橢圓和拋物線也證明了類似結論．

如圖1，如果將命題2中的“梯形A1A2A3A4”替換為“對邊A1A4∥A2A3的蝶形A1A3A2A4”(“蝶形”是指有一組對邊相交的四邊形)，那么命題1、2就可以得到統一．具體地說就是：兩個命題中的四邊形都是有一組對邊平行的四邊形，而M和M′都是相應四邊形的不平行的那一組對邊所在直線的交點．

文[1]的解析法證明比較復雜，運算量頗大．本文將給出在上述限定條件下圓錐曲線的有一組對邊平行的內接四邊形(如前所述，包含梯形和有一組對邊平行的蝶形)的統一而簡單的作法．

注：本文中圓錐曲線的“內接四邊形”意指頂點均在圓錐曲線上的四邊形，但并不一定要求四邊形的邊也在圓錐曲線內部．

先將此作圖問題明確……