厘清銳角三角函數中的邊、角、形

金文衛

厘清銳角三角函數中的邊、角、形

金文衛

正確理解銳角三角函數的定義是學好銳角三角函數的基礎，如果對銳角三角函數中的邊、角、形概念及相互關系理解不準確，就會出現諸多錯誤，如特殊角的三角函數值混淆，或在非直角三角形中想當然直接求解，或審題思路不清，或思考不周全、分類不全面等.現對一些常見的因概念理解不清產生的錯誤解答加以剖析.

一、忽略直角三角形存在性

例1 在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，則tanB=________.

【錯誤解法】解：如圖1，在△ABC中，

圖1

【錯解分析】銳角三角函數是在直角三角形中定義的.本題中求tan∠B的值，而∠B所在的三角形不是直角三角形，就不能直接用三角函數定義去求解.解決這類問題通常有兩種方法：1.構造直角三角形；2.等角代換，即在已有的直角三角形中找到與所求角相等的角.這道題中沒有直角三角形，忽視直角三角形的存在性，因此導致解法錯誤.

【正確解法】解：如圖2，作AD⊥BC于D點，

∵AB=AC，∴BD=CD=6，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，BD=6，

由勾股定理得

圖2

例2 如圖3，在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，求BC的長.

【錯誤解法】在△ABC中，AC=1，AB=2，∠BAC=60°，

圖3

【錯解分析】此題只給出條件“△ABC”，并沒有給出關于直角三角形的任何條件，在解答時，直接根據三角函數定義給予解答，導致錯誤的產生.本題要么先證出直角三角形，要么另作垂線構造直角三角形，然后再根據正弦定義進行求解.

【正確解法1】如圖4，作BD⊥AC于D點，則∠BDA=90°，∴

圖4

【正確解法2】如圖5，過點C作CH⊥AB于H，則∠AHC=90°，∠BHC=90°，

圖5

在Rt△BHC中，∴BC=CH2+BH2=3.

【啟示】數學問題的解決必須具備一定的條件背景，像解決有關三角函數問題就必須在直角三角形前提條件下解決.只要題目條件中沒有直角條件的，要么證出直角，要么添加輔助線構造直角，然后再根據銳角三角函數的定義進行求解.

二、忽略邊角確定性

例3 在等腰△ABC中，AB=5，BC=4，則sinA=________.

【錯誤解法】如圖6，作CD⊥AB于D點，

圖6

【錯解分析】題干中只給出條件“等腰三角形”，并沒給出哪兩條邊是腰，而本題在解答時卻默認為AC、BC是腰，導致本題解答產生錯誤.本題應該分AC、BC為腰和AB、AC為腰兩種情況分別進行解答，才能使本題得到完整的解答.

【正確解法】解：（1）當AC、BC為腰時，即AC=BC=4，如圖7，作CD⊥AB，交AB于點D，

圖7

（2）當AB、AC為腰時，即AC=AB=5，

如圖8，作BD⊥AC，交AC于D點，

圖8

設AD=x，則CD=AC-AD=5-x，

【啟示】通過添加輔助線，構造直角三角形，把非直角三角形問題轉化為直角三角形問題，是求銳角三角函數的常用方法.但對一個三角形中邊角沒有確定時，必須要分類，即解答時能根據題意將各種情況羅列出來，分別進行解答.

三、忽略直角三角形形狀的多樣性

例4 在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，求∠BAC的度數.

【錯誤解法】如圖9，過A點AD⊥CB于點D，∵在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=2，

圖9

∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，

∴∠CAD=45°，

∴∠BAC=∠BAD＋∠CAD=60°+45°=105°.

【錯解分析】本題已知三角形中兩邊和其中一邊的對角，但題目中一沒給出具體圖形，二沒說明∠BAC是銳角還是鈍角，即三角形形狀不確定，所以解答時直接將∠BAC作為鈍角考慮，導致解答不全.要完整正確地解答此題，必須分清圖形形狀，即∠BAC是銳角還是鈍角，然后再分別解答.

【正確解法】根據題意畫出草圖，并作AD⊥CB，垂足為D.

∵在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=2，

∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，

在Rt△ADC中，AC=2 ，

∵AC＞AD，

∴點D在線段BC上，或在BC延長線上.（1）當點D在線段BC上時，如圖10所示，則∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

圖10

（2）當D點在BC延長線上時，如圖11所示，則∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

綜上所述，∠BAC的度數為105°或15°.

圖11

【啟示】像這樣已知兩邊和其中一邊對角的三角形，其形狀不唯一，在實際應用時，往往忽略高在三角形外，即第二種情況.恰當應用分類討論思想是解決此題的關鍵.

小試牛刀

1.已知某等腰三角形的面積為2，腰長為 5，底角為α，求tanα的值.

2.如圖，在△ABC中，點D為AB中點，DC⊥AC，sin∠BCD=，求tanA.

（關注公眾號，回復“2017年12月數學”查答案）

江蘇省宿遷市鐘吾初級中學）