銳角三角函數中的不確定因素

雍艷梅

銳角三角函數中的不確定因素

雍艷梅

數學中的分類討論就是根據數學現象的本質屬性的相同點或者不同點，將數學對象劃分為不同種類的一種數學思想.在解決數學問題時，如果問題不能以同一種方法處理，就需要按照某一確定的標準，在比較的基礎上，然后進行分類討論，再把這幾條結論匯總，從而得出問題的答案.

銳角三角函數的定義揭示了直角三角形中的銳角與邊之間的關系，在銳角三角函數的學習過程中，經常會遇到一些邊、角、點、形等位置不明確的問題.這個時候就需要我們審清題意，分清情況，畫出圖形，分類型討論，探索解決問題.應用分類討論思想解決問題的關鍵是弄清何時分類、為何分類、如何分類.下面結合幾個問題，和同學們一起體會分類討論思想在解決三角函數問題中的應用.

一、由邊的位置不確定產生的分類討論

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，兩邊長分別為3和4，求sinA的值.

解：（1）若3和4為直角邊長度：

①如圖 1，當 BC=4，AC=3時，AB=5，則sinA的值為；

②如圖 2，當 BC=3，AC=4時，AB=5，則sinA的值為.

圖1

圖2

（2）若3和4分別是直角邊和斜邊的長度：

④如圖4，當AB=4，AC=3時，BC=7 ，則sinA的值為

圖3

圖4

【啟示】當我們求銳角三角函數值的問題時，發現直角三角形中斜邊和角的對邊的位置未確定，這時需要分類討論.

二、由角的位置不確定產生的分類討論

例2 已知，在△ABC中，AB=5，BC=4，S△ABC=8，求tanC.

【分析】為了求tanC，根據正切的定義，需要構造直角三角形，故作高AD.可由BC=4，S△ABC=8，三角形的面積公式求出AD=4.再利用勾股定理求出BD的長，由于有∠B是銳角和∠B是鈍角兩種情況，因此本題需要根據角的不同位置，分類畫出圖形，分別求出CD的長，然后根據求出tanC的值.

解：（1）若∠ABC是銳角，作高AD，如圖5，

圖5

（2）若∠ABC是鈍角，如圖6，

圖6

【啟示】當我們遇到角的位置不確定時，常常需要分類討論.根據角進行分類討論，可分為角是銳角和鈍角兩種情況.

三、由點的位置不確定產生的分類討論

【分析】認真審題可以發現，點D可以在線段AB上，也可以在線段AB的延長線上，依據題意畫出兩種情況下的圖形，再將∠BCD構造在直角三角形中，依據銳角三角函數定義解決問題.

解：（1）如圖7，當點D在線段AB上時，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，

圖7

（2）如圖8，當點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E，

圖8

【啟示】當動點的位置不確定時，需要分類討論.根據動點在線段上和在線段的延長線上分別畫出圖形，再構造直角三角形，借助勾股定理解決問題.

四、由形的位置不確定產生的分類討論

例4 在平面直角坐標系xOy中，已知一次函數y=kx+b的圖像經過點P（1，1），與x軸交于點A，與y軸交于點B，且tan∠ABO=3，求A點的坐標.

【分析】本題考查了三角函數與一次函數的綜合運用，由于一次函數y=kx+b與x軸交點A的位置不確定，從而導致Rt△ABO圖像位置不確定.因此應按形的位置分類討論，即分△ABO在y軸左側和右側兩種情況.分別畫出圖形，再依據條件tan∠ABO=3，構造直角三角形解決問題.

解：（1）當k＞0時，△ABO位置如圖9所示，過P作PC⊥x軸，垂足為C，

圖9

（2）當k＜0時，△ABO的位置如圖10所示，過P作PC⊥x軸，垂足為C，

圖10

解得AC=3，∴AO=4，∴A（4，0）.

綜上，A的坐標為（-2，0）或（4，0）.

【啟示】當角所在的三角形位置不確定時，需要分類討論，考慮k＞0和k＜0兩種情況，通常作x軸或y軸的垂線來構造直角三角形，從而將點的坐標轉換為線段的長，再綜合利用知識，解決問題.

分類討論，既是一種重要的數學思想，又是一種數學解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，使知識條理化，訓練思維的嚴謹性.所以它既是思想又是方法，同時也是一種思維習慣.在應用分類討論思想解決問題時，一定要明確何時、何類、為何分類，這樣才能不重不漏，使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的完美解答.

小試牛刀

1.已知：在等邊△ABC中，點P是直線BC上一點，且PC∶BC=1∶4，則tan∠APB=________.

2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，點P在邊AB上，若△APC為以AC為腰的等腰三角形，則tan∠BCP=_____ .

（關注公眾號，回復“2017年12月數學”查答案）

江蘇省宿遷市鐘吾初級中學）