運用概率估計與決策

2017-12-25 02:18:22陳德前特級教師

初中生世界 2017年47期

陳德前（特級教師）

運用概率估計與決策

陳德前（特級教師）

我們知道，通過數(shù)據(jù)的收集與整理可以幫助我們進行決策.但數(shù)據(jù)的收集與整理費時費力，有時還有破壞性.此時，我們不妨請概率這個朋友來幫忙，進行估計，做出決策.

例1 （2017·蘭州）一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計盒子中小球的個數(shù)n為（）.

A.20 B.24 C.28 D.30

【解析】利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為30%，再根據(jù)概率公式計算n的值.根據(jù)題意得=30%，解得n=30，所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球，選D.

【點評】大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.當實驗的所有可能結果不是有限個，或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率，再利用這個概率來解決有關問題.

例2 在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖1，轉盤被平均分成16份），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的機會.如果轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得50元、30元、20元的購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物.如果顧客不愿意轉轉盤，那么可以直接獲得購物券10元.

圖1

（1）求每轉動一次轉盤所獲購物券金額的平均數(shù)；

（2）如果你在該商場消費125元，你會選擇轉轉盤還是直接獲得購物券？說明理由.

【解析】（1）算出指針對準紅色、黃色、綠色的概率，求出獲購物券金額的平均數(shù)為50×

（2）通過比較做出選擇，∵11.875元＞10元，∴選擇轉轉盤.

例3 我市長途客運站每天6：30～7：30開往某縣的三輛班車，票價相同，但車的舒適程度不同.小張和小王因事需在這一時段乘車去該縣，但不知道三輛車開來的順序.兩人采用不同的乘車方案：小張無論如何決定乘坐開來的第一輛車；而小王則是先觀察后上車，當?shù)谝惠v車開來時，他不上車，而是仔細觀察車的舒適狀況.若第二輛車的狀況比第一輛車好，他就上第二輛車；若第二輛車不如第一輛車，他就上第三輛車.若按這三輛車的舒適程度分為優(yōu)、中、差三等，請你思考并回答下列問題：

（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種可能？

（2）你認為選擇哪種方案乘坐優(yōu)等車的可能性大？為什么？

【解析】（1）用列舉法，三輛車按開來的先后順序為：優(yōu)、中、差，優(yōu)、差、中，中、優(yōu)、差，中、差、優(yōu)，差、優(yōu)、中，差、中、優(yōu)，共6種可能.

（2）用列舉法求出不同乘車方案乘坐優(yōu)等車的概率即可得到結論.根據(jù)三輛車開來的先后順序，小張乘坐的車對應情況是：優(yōu)，優(yōu)，中，中，差，差；小王乘坐的車對應情況是：差，中，優(yōu)，優(yōu)，優(yōu)，中.由此可知：小張乘坐優(yōu)等車的概率是，而小王乘坐優(yōu)等車的概率是.所以選擇小王的乘車方案乘坐優(yōu)等車的可能性大.

例4 在課外活動時間，小王、小麗、小華做“互相踢毽子”游戲，毽子從一人傳到另一人就記為踢一次.

（1）若從小麗開始，經過兩次踢毽后，踺子踢到小華處的概率是多少？（用樹狀圖或列表法說明）

（2）若經過三次踢毽后，毽子踢到小王處的可能性最小，應確定從誰開始踢，并說明理由.

【解析】（1）用樹狀圖或列表法求概率.樹狀圖如下：