仿射坐標(biāo)系下的向量外積

袁兆明

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

1 一些記號(hào)和預(yù)備知識(shí)

首先.對(duì)于三維歐式空間3的一組不共面的向量e1,e2,e3,我們可以唯一以其作為一組基底構(gòu)造仿射坐標(biāo)系.記gij=ei·ej,由于內(nèi)積的交換性,故

ei·ej=ej·ei,

亦即

gij=gji,?i,j∈{1,2,3}.

由此誘導(dǎo)的度量系數(shù)矩陣

是一個(gè)正定的對(duì)稱矩陣.|g|>0.

我們定義三個(gè)向量的混合積為:

[a,b,c]=(a×b)·c.

在Descartes右手直角坐標(biāo)系中,gij=δij,故g=I3.

任意三個(gè)向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),有

a·b=abT,

在一般的仿射坐標(biāo)系.對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b有

a·b=agbT,

可是我們并沒有給出明確的計(jì)算外積的公式.在這里.經(jīng)過(guò)推導(dǎo).我們將給出仿射坐標(biāo)系下向量外積一般的坐標(biāo)表達(dá)式.即有如下定理成立:

對(duì)于空間中任意兩個(gè)向量a,b以及任意三個(gè)不共面的向量e1,e2,e3,有:

2 基向量間的外積

2.1 從Descartes系看一般仿射系

在Descartes坐標(biāo)系中.證明外積的公式有大致兩種證明方法:

1.求出基向量之間的外積.利用外積的線性性質(zhì)求任意向量的外積.

2.通過(guò)一般性地設(shè)出所求向量.根據(jù)外積的性質(zhì)解得向量的坐標(biāo).

在這里.我們將同時(shí)采用這兩種方法.即用待定系數(shù)法確定基向量間的外積.再利用外積的線性性質(zhì)求一般向量的外積.

2.2 一組基向量間的外積

我們?nèi)O;e1,e2,e3}為仿射坐標(biāo)系的一組基.記c=e1×e2并設(shè)c=xe1+ye2+ze3,則

c·e1=(xe1+ye2+ze3)·e1=xg11+yg12+zg13

c·e2=(xe1+ye2+ze3)·e2=xg21+yg22+zg23.

這是一個(gè)齊次線性方程組.并且e1和e2不平行.解得這個(gè)方程組的解空間為

(x,y,z)=λ(x0,y0,z0)

記c=λc0,c0=(x0,y0,z0),其中λ≠0.

我們通過(guò)整理c0可以得到如下的結(jié)果:

|c0|2=(x0e1+y0e2+z0e3)2

2y0z0g23+2x0y0g13

=(g12g23-g13g22)2g11+(g13g21-g11g23)2·g22+(g11g22-g12g21)2g33+2(g12g23-g13g22)·(g13g21-g11g23)g12+2(g13g21-g11g23)(g11g22-g12g21)g23+2(g12g23-g13g22)(g11g22-g12g21)g13

由向量的性質(zhì).我們知道,

|a·b|2+|a×b|2=|a|2|b|2.

代入c0,c與a,b的關(guān)系可知:

而由代數(shù)關(guān)系.我們知道:

上式右端即為|g|.

由之前的推導(dǎo).我們可以得到

而由于g是正定矩陣.|g|>0故:

sign[e1,e2,e3]=signλ,

2.3 其它基向量間的外積表……

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