數學問題解答

2016年12月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

(山東省泰安市寧陽縣第一中學 劉才華 271400)

證明設⊙O的半徑為r,PA=PB=λ，

∠MPN=α,∠PMN=β,∠PNM=γ，

在△QCM中，由正弦定理得

2337在△ABC中，設a，b，c為其三邊長，表示對a,b,c循環求和，則

(四川成都金牛西林巷18號華鑫園A601 宿曉陽 610031)

證明易知

所以由上述等式及同號得正，異號得負，即得命題成立.

2338已知在△ABC中，∠B=2∠C，點D1、D2在BC上，且∠BAD1=∠CAD2.

求證：BD1·BD2≤(AC-AB)2

(北京市陳經綸中學 張留杰 100020)

證明如圖，延長CD1到E，使BE=BA，

則有∠1=∠2，∠ABC=∠1+∠2=2∠1.

因為∠ABC=2∠C，

所以∠C=∠1，AE=AC，

①

因為∠BAD1=∠CAD2，

所以AD1、AD2為∠BAC的內等角線，

由三角形內等角線性質可得

所以AC2(BD1·BD2)=AB2·BC2-AB2·BC·(BD1+BD2)+AB2(BD1·BD2)，

所以 (AC2-AB2)(BD1·BD2)

=AB2·BC2-AB2·BC(BD1+BD2).

②

把①代入②，得

(AC2-AB2)(BD1·BD2)

所以BD1·BD2

=AC2-AB2-AB(BD1+BD2)，

所以BD1·BD2

≤AC2，

所以BD1·BD2≤(AC-AB)2.

當且僅當∠BAC的內等角線AD1與AD2重合為∠BAC的角平分線時，不等式中的等號成立.

2339設△ABC三邊長、三內角、半周長、外接圓和內切圓半徑分別為a,b,c,A,B,C,s,R,r,則有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

那么就有

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

證明如圖，在Rt△ABC中，作PiQi⊥AC于點Qi，i=1,2,…,2n-1.

根據題設及PiQi∥BC可得

在Rt△APiQi中，PiQi=AQi·tanA.

在Rt△CPiQi中，

又 tan(∠ACP2n-1-∠ACP2n-2)

即 tan2A-4tanA+3<0,解得1

∠BCP2n-1+∠ACP2n-1=90°，

故 tan∠ACP2n-1=126.

=(2n-1)tanA，

從而有(2n-1)tanA=126，

即43<2n<127.

因正整數n≥2，又26=64，故n=6.

由(2n-1)tanA=126得tanA=2.

2017年1月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2341已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,求證：

a+ab+abc+abcd≤4.

(陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000)

2342設⊙N切△ABC的兩邊CA，CB于點E，F，同時與△ABC的外接圓⊙O內切于點P．連結CN并延長交⊙O于T，求證：⊙(T,TB)與EF相切 ．

(湖北省谷城縣第三中學 賀 斌 441700)

2343設ai,xi,λi∈R，(i=1,2,…,λ,n≥2),t∈R，且

M1=λ1x1+λ2x2+…+λn-1xn-1+λnxn>0，

M2=λ2x1+λ3x2+…+λnxn-1+λ1xn>0，

…………………………………………

Mn=λnx1+λ1x2+…+λn-2xn-1+λn-1xn>0，

并令

N1=(t-λ1)x1+(t-λ2)x2+…+(t-λn)xn，

N2=(t-λ2)x1+(t-λ3)x2+…+(t-λ1)xn，

…………………………………………

Nn=(t-λn)x1+(t-λ1)x2+…+(t-λn-1)xn，

若t(λ1+λ2+…+λn)>0，

若t(λ1+λ2+…+λn)<0，則式中不等號反向．

(河南質量工程職業學院李永利 467000)

2344在△ABC中，以BC中點M為圓心，BC為直徑作圓交AB、AC于F、E，連接FC，EB，其交點為D，FE交AD于P，BP、ME交Q，求證：QA∥BC．

(江西師范高等專科學校 王建榮 陳志欽 335000)

(甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍 741600)