一個(gè)Finsler-Hadwiger型不等式的加強(qiáng)

郭要紅 劉其右

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 241000)

1 引言

1919年，Weitzenb?ck提出了如下不等式：[1]

定理1設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長(zhǎng)與面積，則

1937年，F(xiàn)insler和Hadwiger建立了一個(gè)更強(qiáng)的不等式如下：[2]

定理2設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長(zhǎng)與面積，則

近年來(lái)，對(duì)Weitzenb?ck,Finsler-Hadwiger不等式的研究精彩紛呈，文[4]也總結(jié)了一系列研究成果，其中有：

定理3設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則

(1)

本文對(duì)不等式(1)進(jìn)行加強(qiáng)，得到：

定理4設(shè)a,b,c,S,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、面積、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則

a2+b2+c2-∑(a-b)2

(2)

2 兩個(gè)引理

為證明不等式(2)，先給出兩個(gè)引理.

引理1(Blundon不等式)[3]設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.

引理2設(shè)a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長(zhǎng)、半周長(zhǎng)、內(nèi)接圓半徑與外接圓半徑，則

(3)

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.

證明由引理1知，只要證

由歐拉不等式：R≥2r，只要證

(4)

因?yàn)?(R+r)(R-2r)+3r2≥0，而

=4Rr3+r4≥0.

所以，(4)式成立，于是，(3)式成立.從上述證明過(guò)程知，(3)式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)成立.

3 結(jié)論的證明

三式相加，得

應(yīng)用三角恒等式

a2+b2+c2

利用引理2，有

即

a2+b2+c2-∑(a-b)2

定理4得證.

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