避開無窮 返璞歸真（上）

文︳張景中 彭翕成

避開無窮 返璞歸真（上）

文︳張景中 彭翕成

數學中的無窮，常用符號∞表示，來自于拉丁文的“infinitas”，取“沒有邊界”之義。

無窮內容之豐富，就像一個深不可測的海洋，其中不知蘊藏著多少秘密。古今中外關于無窮的著作浩如煙海。

對于無窮，數學家又愛又恨。面對無窮，常常能避則避，但避開無窮不是一件容易的事情。

1.《幾何原本》中的無窮

歐幾里得《幾何原本》中第五公設就涉及無窮。敘述如下：

如圖1，如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小于兩直角的和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內角和小于兩直角和的一側相交。

圖1

這里“不斷延伸”的字句，已經涉及無窮。

“由圓外一點P向⊙O作切線”，現在常見的的作圖法如圖2，連接OP，作OP中點M，以M為圓心，MO為半徑作圓，交⊙O于N，則PN即為所求作的切線。

而《幾何原本》中的作圖法如圖3，連接OP，交⊙O于A，過A作OP的垂線，交以O為圓心，OP為半徑的圓于點B，連接OB，交以O為圓心，OA為半徑的圓于點C，則PC即為所求作的切線。

圖2

圖3

為什么《幾何原本》中不采用圖2的簡單作法呢？因為圓的直徑所對的圓周角為直角，是由三角形內角和等于180°推導得到的。使用圖3的作法，就是希望避開平行公設，也就是避開無窮。

素數有無窮多個，在《幾何原本》中的說法卻是“質數比任意給定的一群質數還多”。注意這里避開了無窮。

2.從有限到無窮——三角形內角和定理的證

理解無窮，要從有窮開始。

研究表明：通過驗證一個三角形的內角和為180°，就能斷言所有三角形的內角和都為180°！

首先把幾何問題代數化。如圖4，建立平面直角坐標系，設△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，0），B（1，0），C（u1，u2）。取 BC 的中點 M，延長AM至D，使得DM=AM，則∠DCB=∠CBA。取AC的中點N，延長BN至E，使得NE=NB，則∠ECA=∠CAB。于是要證明的命題轉化為：∠ECA+∠ACB+∠DCB=180°，也就是 D，C，E 三點共線。

設 M（x1，x2），N（x3，x4），D（x5，x6），E（x7，x8），則命題的假設條件為 H：f1=2x1-（u1+1）=0，f2=2x2-u2=0，方程f1，f2表示M是BC的中點。

f3=2x3-u1=0，f4=2x4-u2=0，方程 f3，f4表示 N 是AC的中點。

f5=x5-2x1=0，f6=x6-2x2=0，方程 f5，f6表示 AM 延長1倍到D。

f7=x7-2x3+1=0，f8=x8-2x4=0，方程 f7，f8表示 BN延長1倍到E。

而要證明的結論是D，C，E三點共線，即C：g=（x5-u1）（x8-u2）-（x7-u1）（x6-u2）=0。

問題一共涉及10個變元。其中u1，u2可任意取值，叫做自由變元。一旦 u1，u2定了，x1～x8都可以由條件H定下來，所以x1～x8叫做約束變元。利用條件H接觸x1～x8代入C，可得到關于u1，u2的多項式 G（u1，u2）。要證明條件H 之下有結論 C，也就是證明多項式G（u1，u2）恒等于0。容易推出G關于u1，u2的次數都不超過1，于是只要在u1，u2的一個2×2的格陣上檢驗G是否為0即可。這個格陣可?。?，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），立刻可以算出G在這幾組數值下為0。事實上，對于（u1，u2）=（0，0）=（1，0）根本不用算，因為此時 A，B，C 三點共線，結論顯然。而在（u1，u2）=（1，1）和（u1，u2）=（0，1）這兩種情形下得到的△ABC是全等的。因而只要對（u1，u2）=（0，1）作檢驗即可。把 u1=0，u2=1代入 H，得 x8=1，x6=1，x7=-1，x5=1，代入 C 得 g=0，這就完成了命題的證明。（參閱《自然雜志》1991年第1期《舉例子能證明幾何定理嗎》）

圖4

這表明，只要檢驗4個三角形（實質上是一個），便足以證明三角形內角和定理！

3.“飛矢不動”中的無窮

古希臘著名哲學家芝諾曾經提出“飛矢不動”的怪論。他說箭在每一個時刻都有一個確定的位置，因而在每一個時刻都沒有動。既然每個時刻都沒有動，它怎么能夠動呢？

為了駁倒這個怪論，就要說清楚什么叫動，什么叫沒有動。

如果一個物體的位置在時刻u和后來的一個時刻v不同，我們就說它在時刻u和v之間動了。反過來，如果它在任意時刻t∈［u，v］都有相同的位置，就說它在u到v這段時間內沒有動。

這樣，動或不動都是涉及兩個時刻的概念。芝諾所說“在每一個時刻都沒有動”的論斷是沒有意義的！

芝諾論題的令人迷惑之處，在于運動物體好像要經過無窮多個時刻才能完成運動。而我們在理清動與不動的概念時，可以避開無窮，只在兩個時刻考慮。

4.避開無窮的天才——阿基米德

古希臘的阿基米德是避開無窮的天才。他從拋物線弓形的內接三角形面積出發，成功地求出了拋物線弓形的面積。

如圖5，設拋物線的方程為y=kx2（k＞0）。考慮區間［a-h，a+h］上的一段拋物線所構成的弓形。

圖5

從拋物線弓形去掉這個三角形之后，剩兩個小弓形。類似地作每個小弓形的內接三角形；重復操作，剩4個小弓形，如圖6。作每個小弓形的內接三角形，其面積為k·）3。

圖6

不斷做下去，得到無窮多的三角形，它們的面積之和是

在阿基米德時代，他必須避開無窮，說出一個令人信服的理由。

阿基米德計算到第n項就打住，得到等式

這個方法在數學史上以“窮竭法”著稱。

（待續）