談導數的幾種應用與思路

劉旌揚

【摘要】導數是中學乃至大學數學中微積分部分的基礎知識，如復變函數、泛函等都是以導數作為基礎。導數在的幾種問題，尤其在求函數的極值、單調性等方面，求解非常方便、簡潔。同時，在極限求解方面，以導數基本原理為基礎的洛必達法則更是一個求解極限類問題的不二法門。不僅拓寬了解題方法，更加快了解題速度。以導數在函數極值、單調性中的綜合應用與洛必達法則為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

【關鍵詞】導數極值單調性洛必達法則通常來說，導數可以從不同的角度靈活考察知識的綜合運用和解決數學問題的能力。與此同時，導數與不等式、數列、函數等知識的交集命題，應用數學知識解決綜合能力問題已成為今后命題的趨勢和特點。本文試圖以導數在函數極值、單調性中的綜合應用與洛必達法則為例，通過幾個問題總結導數的解題思路與方法。

一、導數在求函數極值中的應用

問題分析：（1）對于給定求函數單調性問題，看清題目所給條件，一般來說，若給條件是函數存在極值，則可推得導數存在零點，且零點非駐點。（2）本題中，不僅需要求函數的單調性，還需要求參數的取值范圍。同理，根據所給條件，可確定函數存在零點，后求出極值點對應的x值，進行分類討論即可。本題也與上一節聯系緊密，說明導數的應用穿插于各類問題當中，用途廣泛。

三、洛必達法則

解析：（1）對于該類不等式問題，首先應分離變量，并且將不等式一端用函數表示，多次求導可以確定分離變量后一端新函數的單調性；（2）求解出函數極值后，極值未必就在定義域內，若在極值點處函數滿足洛必達條件，可利用上節內容求得極限。

四、總結

總之，導數作為大學課程《高等數學》中微積分的學習基礎，在新課標的課程大綱中，將導數移至高中數學的學習，雖然，高中數學課程的學習內容增加了，但由于導數本身具有極強的實際應用性，能夠非常好地解決一些例如極值問題、最值問題，在單調性問題、不等式證明等問題，并且在這類問題中具有突出的實際運用性，是高中數學學習過程中的一個很好的學習工具。與此同時，導數是在各類考試中重點的考試內容，霸占非常大的分數比例，一般試卷壓軸題出導數的題目概率及其之高。因此，在學習導數過程中要注意理解導數的一些常規運用并且理解導數的意義，在基礎問題方面勤加練習，做到舉一反三，同時熟練的掌握導數的運用，才能在考試中發揮出理想的實力。

參考文獻：

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