萬千變化abc

王聯福

摘要：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質是初中數學重要內容，學生學習時經常會對a、b、c變化對圖象的影響判斷產生混淆，對掌握圖象性質帶來不少障礙。筆者在教學實踐中將a、b、c對圖象影響選取若干典型案例進行解讀，希望能對學生學習掌握這方面的知識帶來幫助。

關鍵詞：二次函數；圖象與性質；數形結合

數缺形時少直觀，形少數時難入微。在二次函數y=ax2+bx+c（d≠0）的圖象與性質教學中充分利用數形結合的互相轉化加深對這個問題的理解，在直觀與抽象，感知與思維中讓知識在腦海中留下深刻印象，讓學生體會到數學學習的精妙！

我們先來明確函數y=ax2+bx+c的圖象特征與a、b、c的關系（解析式中a、b、c的作用）

1. a決定開口方向及開口大小.（與y=ax2中的a完全一樣）

（1） a>0則雙曲線開口向上。（2） a<0則雙曲線開口向下。

2. b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.（口訣：左同右異）

由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-b2a，故：①b=0時，對稱軸為y軸；②ba>0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側（左同）；③ba<0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側（右異）.

3. c值決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置.

當x=0時，y=c，則拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點（0，c）：

①c=0，拋物線經過原點；②c>0，與y軸交于正半軸；③c<0，與y軸交于負半軸.

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.

4. 雙曲線y=ax2+bx+c與x軸的交點可通過解方程ax2+bx+c=0而獲得，所以

①如果

SymbolDA@ >0，則y=ax2+bx+c交x軸于兩點。

②如果

SymbolDA@ =0，則y=ax2+bx+c交x軸于一點。

③如果

SymbolDA@ <0，則y=ax2+bx+c與x軸無交點。（

SymbolDA@ =b2-4ac）

基礎運用

已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：

①a+b+c>0；②a-c<0；③b2-4ac>0；④b<2a；⑤abc>0.

其中正確的有（）個.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解：①根據圖示知，當x=1時，y>0，即a+b+c>0.故①正確；②如圖，拋物線的開口向上，則a>0.拋物線與y軸交與負半軸，則c<0，所以a-c>0.故②錯誤；③如圖，拋物線與x軸有兩個不同的交點，則Δ=b2-4ac>0.故③正確；④如圖，對稱軸-10所以，b<2a.故④正確；⑤∵a>0，對稱軸x=-b2a<0，∴b>0，又∵c<0，∴abc<0.故⑤錯誤；綜上所述，正確的說法是①③④，共有3個.故選C.

變形提高

已知二次函數y=ax2+bx+c（x≠0）的圖象如圖所示，有下列結論：

①2a+b>0；②b2-8a>4ac；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.

正確的有.

解：①由圖知：拋物線開口向上，得：a>0；拋物線的對稱軸為x=-b2a=1，b=-2a，則2a+b=0故①錯誤；②拋物線交y軸于負半軸，得：c=-2；因為b=-2a，所以b2-8a=4a2-8a，4ac=-8a，因為4a2>0，所以4a2-8a>-8a，所以b2-8a>4ac，故②正確；③根據①可將拋物線的解析式化為：y=ax2-2ax+c（a≠0）；由函數的圖象知：當x=-2時，y>0；即4a-（-4a）+c=8a+c>0，故③正確；④根據拋物線的對稱軸方程可知：（-1，0）關于對稱軸的對稱點是（3，0）；當x=-1時，y<0，所以當x=3時，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正確；故答案為②③④.

本題的亮點②b2-8a>4ac；③8a+c>0；通過圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數與方程之間的轉換來得到結論.

本著“問題—探究—反思—提高”的過程，展開所要學習的數學主題，使學生在了解原有知識基礎上，理解并掌握相應的學習內容。

基礎訓練、變形提高，有效的數形結合極大地激發了學生的學習興趣，培養學生的觀察、分析、歸納、概括能力，提高數學課堂教學的效率和效果，促使學生主動參與并“卷入”到“做”數學的活動中，從而更加深刻地認識并掌握二次函數的圖象性質。

參考文獻：

[1]王建磐.義務教育課程標實驗教科書初中三年級（九年級）（下），《數學》華東師范大學出版社.

[2]王鳳章.初中數學教學的新視野[J].數學學習與研究.

[3]李金芳，馬維政.數形結合思想在初中數學教學中的滲透[J].考試周刊.