一次函數在初中物理中的運用

孫萍

摘要：本文對初中物理中涉及的一次函數的相關內容進行了初步梳理，并對一次函數在實際情境中的運用作了分析。強調使用一次函數知識去解決物理問題時，必須結合實際物理意義進行解析。

關鍵詞：一次函數；初中物理；函數運用

一、 直線運動內容中的運用

在勻速運動中，由于運動速度是不變的，所以s=vt中的v就相當于一次函數中的k，是一個常量。學生需要學會通過圖像計算出物體的速度，并且掌握通過比較直線的斜率來判斷物體運動的快慢以及函數與s軸截距的意義。同時，結合實際，我們也可以進一步讓學生掌握通過s-t圖像分析變速運動的速度變化情況，是加速還是減速。

二、 密度內容中的運用

最新的蘇科版教材采用了比值法定義了密度，比值法定義的優點是能夠直接引出表達式，突出新物理量是由已知的兩個物理量比值體現出來，同時也能更直接的通過定義式得到新物理量的單位。通過定義式，我們可以清晰地看出密度是如何約束質量和體積的關系的，從數學角度上講，密度ρ就是正比例函數的常數k。

案例：

某同學在測量鋁的密度時，測出某一鋁球的質量為27 g，然后他準備用量筒測體積時，忘記記錄量筒內水的體積就把鋁球放了進去，只讀出了水和鋁球的總體積為30 cm3。為了彌補失誤，又測量了另一個鋁球的質量為54 g，但測量鋁球體積時，又忘記把原來的鋁球從量筒里取出，直接把第二個鋁球放入了量筒中，此時量筒示數為50 cm3，通過以上數據幫助該同學計算出鋁的密度。

分析：

我們可以把第一次放入的鋁球與水看成整體，第二次放入鋁球時量筒示數的增加值就是第二個鋁球的體積。但如果從一次函數的角度求解，會得到不同的思路。在本題中，研究的對象是鋁的密度，從函數關系講鋁密度ρ就是函數的斜率k。由于問題中的體積并不是鋁的體積，包含水的體積V水，因此函數關系就不是簡單的正比關系了，而是變為較為復雜的一次函數。最終的函數可表示為m=ρ（V總-V水）=ρV總-ρV水，其中

ρ=ΔmΔV=54 g50 cm3-30 cm3=2.7 g/cm3

該函數與V軸的截距就是水的體積V水，而與m軸的截距為-ρV水。在常規的題型中還未考察過m軸截距的物理意義，可以作為拓展內容進行考查。

三、 力學內容中的運用

初中階段力學部分除了二力平衡內容外沒有涉及動力學知識。因此一次函數在力學內容上的運用并不多，只涉及一些課外拓展式的探究。在與其他知識相結合時，有一些實例存在，如與密度內容相結合時，有如下案例。

案例：

某課題小組進行探究活動，他們在塑料小桶中分別盛滿已知密度的四種不同液體后，用測力計測出它們重力，并將數據記錄如下表：

（1） 分析此表，發現液體的密度與測力計的示數之間有一定規律，能正確反映這一規律的圖像是。

（2） 若小桶中盛滿某種液體后，彈簧測力計的示數為2.3 N，推算出該液體的密度是kg/m3。

分析：

本題中存在密度與重力的函數關系式，在第一小題中，側重考查的是學生對一次函數增減性和截距的物理意義的理解。本題中，隨著液體密度的增大，測力計示數也會增大。容易出錯的地方是，學生不清晰函數截距的含義。根據題中信息，需要用小桶盛放液體，因此測力計測量的是桶和液體的總重。當桶內不放液體時，測力計示數即為空桶的重。我們可以把這種情況看作是在測量密度為0的液體和桶的總重。從函數圖像上看，當ρ=0時，F不為0。密度為0的液體重力為0，所以截距為空桶的重。

在第二問中，我們并非一定要確定ρ（F）的函數關系式，可以直接根據斜率k的計算式：k=Δy/Δx來求解。在一次函數中y的增量和x的增量的比值為一定值，所以根據這一規律，可以直接得出該液體的密度為1.5×103kg/m3。

四、 電學內容中的運用

電學部分主要涉及了歐姆定律及其應用。電阻R對于同一導體（忽略溫度影響時）來說是一定值。此時I是關于U的正比例函數，但由于這一函數的形式較為特殊，函數的斜率k=1/R，是電阻R的倒數。所以在I-U圖像上直線傾斜程度越大，電阻R反而越小。這要求學生對物理公式中每個物理量在數學中的實際位置有一個清晰的認識。

在考慮溫度的影響時，如探究小燈泡的伏安特性曲線活動中，會發現函數圖像不是一條直線。原因是燈絲電阻受溫度影響，并非常量。此時雖然不是一次函數，但我們可以通過曲線斜率的變化來判斷燈絲的電阻變化情況。如圖4.1所示，燈絲電阻隨電流的增大而增大。

圖4.1

圖4.2

初中物理電學實驗探究中，多次出現了圖4.2的電路圖。滑動變阻器兩端的電壓UP和通過它的電流I的函數圖像如圖4.3所示。從圖像可知，該函數是k值為負的一次函數。根據串聯電路的特點有：

圖4.3

U總=UP+U0（1）

U0=IR0（2）

方程（1）、（2）聯立可得到滑動變阻器在電路中的狀態方程：

UP=-R0I+U總

即為圖4.3函數圖像的函數關系式。結合圖像可知：此函數關系式的斜率為-R0，斜率的計算式為：

-R0=ΔUPΔI

而R0兩端電壓的變化量ΔU0與RP兩端電壓變化量ΔUP有如下關系：

ΔU0=-ΔUP

兩式聯立后可得：

R0=ΔU0ΔI

斜率的計算式說明了滑動變阻器兩端電壓變化量與電流變化量的比值為一定值，值的大小為-R0。同時我們可以把函數反向延長至U軸，得到一個與U軸的截距。雖然反向延長部分在實際問題中沒有意義，但與U軸的截距卻有實際意義。函數與U軸的交點所對應的橫坐標為I=0。也就是說，此時電路中的電流為0，可以看成是滑動變阻器發生了斷路。學生對于這一實驗現象較為了解，知道此時電壓表的示數為電源電壓。所以該函數與U軸的截距的值就是電源電壓。

五、 總結

一次函數在初中物理中有著廣泛應用。學生要對物理知識有更深層次理解，需正確掌握一次函數這一數學工具。物理是一門研究實際問題的學科，教師在教學過程中，需結合物理情境進行教學，不能機械化地套用數學工具解決問題，而忽略了數學知識在應用過程中所體現的物理意義。尤其要對函數關系中的幾個特殊參數的實際意義進行詳細分析，要對物理概念進行全方位滲透，才能使學生在學習過程中達到“知其然，知其所以然”的境界！

參考文獻：

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[2]陳麗娟.淺談初中物理中函數圖像的掌握及其應用[J].中國科技投資，2016（9）.