勾股定理的應用方式探討

花修平??

摘要：勾股定理是數學中的重點定理，其教學內容包括勾股定理的應用、勾股定理的證明、證明方法思想分析等，對于勾股定理的教學，不僅要體現教學方法，還要挖掘其中的創新思維，有意識的培養學生利用勾股定理來解決生活中的問題，達到開發智力的作用。本文從四個方面探討《勾股定理》復習導學設計方法。

關鍵詞：勾股定理；應用方式；復習導學設計；數學素養

一、 明確《勾股定理》的復習目標

①知識與技能目標：掌握勾股定理的發展過程、勾股定理涵義、論證方法，學會采用勾股定理解決難題。

②過程與方法目標：掌握勾股定理價值、分析其中的數學思想，提高學生的推理能力與抽象思維能力，發展創造性思維。

③情感態度與價值觀目標：基于勾股定理的發展歷史，開展德育教育，培養學生的學習興趣、數學素養，養成勇于探索的教學品質。

二、 分析教學難點、準備教學工具

《勾股定理》教學重點是為了幫助學生掌握勾股定理的證明與應用方式，前者為教學活動的難點。在教學工具上，包括幻燈片、四個全等直角三角形圖片、三角板。

三、 復習導學設計

1. 再現勾股定理的概念

數學知識的復習并非是單一的重復，而是要注重知識之間的有機聯系，加深學生勾股定理概念的理解。勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在復習課上，首先要將相關知識組合起來，實現縱橫結合、分條劃塊的目的，引導學生通過交流整理勾股定理知識的復習重點，將其內化為自己的知識體系，將零散的知識組成一個系統的知識體系。

如果單純的羅列出知識點讓學生去記憶的話，這樣的效果估計不會太好，所以可以設計例題通過實踐活動加強勾股定理的再認識。例如：如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是a，b，斜邊長為c和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形.（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖；（2）證明勾股定理.

2. 加強聯系分析易錯點

筆者在教學過程中發現學生在勾股定理的應用中，存在多個易錯點，為了幫助他們解決這一問題，我們需要針對幾個典型的易錯點進行分析：

在應用勾股定理求第三邊時，有很多的同學分不清直角三角形直角邊與斜邊，無論是否為直角三角形，就采用勾股定理，為了避免出現錯誤，在解題時，必須要幫助學生找準斜邊與直角邊，看三角形是不是直角三角形。

例1在Rt△ABC中，三條邊分別為a、b、c，∠B=90°，a為6、b為10，求c的邊長。

錯解：a=6，b=10，根據a2+b2=c2即可求得c的答案，為234

很多學生在遇到這類題時，往往沒有仔細審題就直接求解，忽視了∠B=90°的條件，沒有分清楚三角形的直角邊與斜邊，將c當成斜邊，引起錯誤。在應用勾股定理時，必須要分清楚直角邊與斜邊，不能機械搬用勾股定理。

例2已知，某Rt△ABC兩邊邊長為3、4，那么第三邊邊長平方為？

錯解：根據兩邊邊長為3、4，根據勾股定理計算得出，第三邊邊長平方=32+42=25.

實際上，這一問題，并沒有告知究竟邊長為4的邊為斜邊，還是直角邊，因此，在遇到此類問題時，要分類討論，在4為直角邊的情況下，第三邊邊長平方為25，如果4為斜邊，那么第三邊平方為7。

3. 復習勾股定理逆定理

勾股定理逆定理是教學的難點，很多學生對于這一定理的理解都存在困惑，不知道怎樣用逆定理來解決問題，對于逆定理推導方式的掌握也不夠全面，因此，在復習時，我們要將此作為重點。

例3很久很久以前，古埃及人把一根長繩打上等距離的13個結，然后用樁釘如圖那樣釘成一個三角形，其中，∠C為直角：

①描述古埃及人利用該種方式獲得直角三角形的理由（）

A. 勾股定理：在直角三角形中，直角邊平方和=斜邊平方；

B. 勾股定理逆定理：如果一個三角形邊長有a2+b2=c2，那么這個三角形為直角三角形；

②有三個正整數，分別是a、b、c，如果這三個正整數滿足a2+b2=c2的關系，那么我們就可以將a、b、c稱之為勾股數，請大家開動腦筋，寫出一組勾股數；

③根據上面的方式，再配合自己的理解寫出勾股數，大家仔細想一想，能不能只使用繩子，在圖2設計出另外一種直角三角形的繪制方法呢？

經過了以往知識的學習，學生可以快速得出答案，古埃及人得到直角三角形的方式應用的是勾股定理逆定理，選擇B，并且大家都可以根據勾股數的概念寫出勾股數，如（6，8，10）；

第三個問題與前兩個問題相比，難度較大，在課堂上，為學生留出討論時間，讓大家進行分析，實現思維的碰撞，最后我再進行總結，很快大家都掌握了圖形的繪制方式。

4. 利用勾股定理強化學習體系

例4如圖3，在直角△ABC中，∠ACB為90°，D為AB中點，AC⊥DE，E為垂足，如果DE=2，CD=25，求：BE的長。解題方式為：∵BC⊥CA、DE⊥CA，∴BC∥DE，由于D為AB中點，∴DE=12BC，BC=4在△CDE中，DE=2，CD=25

∴CE=CD2-DE2=（25）2-22=4

根據勾股定理可以得出，BE=BC2+CE2=42

例5如圖4，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且點B，G在DE兩側時，若AB=5，CE=2，連接BE和DG.探究：DG和BE有怎樣的數量關系？

例4是勾股定理的簡單應用，意在鞏固知識點，例5是能力拓展，可以用幾何畫板改變兩個正方形的位置從特殊到一般逐步加大難度，還可以將小正方形變成矩形進行變式訓練，激起學生的思維火花，提高學生解決問題的能力。

5. 重視勾股定理習題設計

習題的設計是復習鞏固的重點環節，初中數學新課程改革標準中明確規定，科學有效的數學學習，不能單一依靠記憶和模仿，而是要著重學生自主探索、動手實踐以及合作交流能力的培養。習題的設置也需要滿足這一原則，讓學生自主發現問題，培養他們終身學習的能力。

6. 豐富勾股定理閱讀材料

數學閱讀材料圖文并茂、內容多元，兼具教育性、知識性、趣味性的特點，對現有知識的拓展與補充，也是對學生開展思想教育的重要內容，適宜的閱讀材料對于學生勾股定理知識的消化起著至關重要的作用。弦圖證明、畢達哥拉斯證明、無字證明、勾股世界、勾股組數與費馬達定律都可以讓學生了解勾股定理的相關文化背景。

四、 結語

勾股定理是初中數學學習的重點定理，其應用范圍非常廣泛，勾股定理復習導學案的設計要兼顧到多種知識，引導學生了解勾股定理的產生文化背景，加強這一知識與生活之間的聯系，引導學生應用勾股定理解決生活中的實際問題，達到“學以致用”的目的，體會到數學學習的無窮魅力。

參考文獻：

[1]劉運周，趙愛國，武力強.對人教版勾股定理內容編排的商榷[J].教育實踐與研究（B）.2015（02）

[2]王傳利.PCK視角下的數學說課——由“勾股定理”說課談起[J].現代中小學教育.2015（07）

[3]秦旭東，李瑞.勾股定理及其逆定理教學內容的比較研究[J].現代中小學教育.2014（08）