無窮級數求和方法解析

蘇玉??

摘 要：本文主要針對無窮級數的求和，分析各類方法，針對不同樣式的數項級數，采用不同的準確方法，取得事半功倍的效果。

關鍵詞：無窮級數；收斂；求和

1. 拆項法求和

【例1】 求級數12+13+14+16+18+112+…的和。

解：Sn=12+14+18+…+1212n-1+13+16+112+…+1312n-1

2. 逐項積分求和

【例2】 計算

3. 利用傅里葉級數求和

【例3】 求級數∑

SymboleB@ n=11n2。

解：構造傅里葉函數f（x）=x2，其中x∈[0，π]，作偶延拓得：g（x）=x2，-π≤x≤π。

由此可知傅里葉系數為：bn=0，其中n=1，2，3，…

a0=2π∫π0x2dx=23π2，

an=2π∫π0x2cos（nx）dx=2nπx2sin（nx）π0-4nπ∫π40xsin（nx）dx=4n2πxcos（nx）π0-4n2π∫π0cos（nx）dx=（-1）n4n2（其中n=1，2，3，…）。

由狄利克雷收斂條件可知：f（x）=π23+4∑

4. 泰勒級數求和

【例4】 求級數∑

5. 微分方程法求和

【例5】 求級數∑

6. 定義法求和（略）

7. 錯位相減法求和（略）

8. 裂項法求和（略）

參考文獻：

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