無窮級數求和方法解析
2017-12-29 02:51:46蘇玉??
考試周刊 2017年46期
蘇玉??
摘 要：本文主要針對無窮級數的求和，分析各類方法，針對不同樣式的數項級數，采用不同的準確方法，取得事半功倍的效果。
關鍵詞：無窮級數；收斂；求和
1. 拆項法求和
【例1】 求級數12+13+14+16+18+112+…的和。
解：Sn=12+14+18+…+1212n-1+13+16+112+…+1312n-1
2. 逐項積分求和
【例2】 計算
3. 利用傅里葉級數求和
【例3】 求級數∑
SymboleB@ n=11n2。
解：構造傅里葉函數f（x）=x2，其中x∈[0，π]，作偶延拓得：g（x）=x2，-π≤x≤π。
由此可知傅里葉系數為：bn=0，其中n=1，2，3，…
a0=2π∫π0x2dx=23π2，
an=2π∫π0x2cos（nx）dx=2nπx2sin（nx）π0-4nπ∫π40xsin（nx）dx=4n2πxcos（nx）π0-4n2π∫π0cos（nx）dx=（-1）n4n2（其中n=1，2，3，…）。
由狄利克雷收斂條件可知：f（x）=π23+4∑
4. 泰勒級數求和
【例4】 求級數∑
5. 微分方程法求和
【例5】 求級數∑
6. 定義法求和（略）
7. 錯位相減法求和（略）
8. 裂項法求和（略）
參考文獻：
[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版，下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]程海來.一些無窮級數的求和[J].大學數學，2013，（3）：112-114.
[3]徐東燕，孟曉剛.Matlab函數庫查詢詞典[M].北京：中國鐵道出版社，2005.
[4]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.
[5]鄭琳琳.級數求和的若干方法[J].知識文庫，2016，（1）：43.
