高中數學解題中不等式的應用分析

【摘 要】針對高中數學解題時不等式的應用，在介紹幾種常見不等式定理的基礎上，對其具體應用和易錯點進行深入分析，以此提供有效的解題方法。

【關鍵詞】高中數學 不等式 應用

在高中數學中，不等式有上下貫通和承前啟后的重要作用，除了能用于解決各類問題，如集合、函數、最值等，還能為以后的數學學習奠定良好基礎。因此，對高中數學解題過程中不等式的具體應用進行分析是具有重要現實意義的。

一、不等式定理

第一，一是若a，b R，則有a2+b2≥2ab，有且只有a、b相等時a2+b2=2ab；二是若a，b R，則有ab≤（a2+b2）/2，有且只有a、b相等時ab=（a2+b2）/2。

第二，若a，b R，則有a+b≥2（ab）1/2；（a+b）/2≥（ab）1/2；ab≥[（a+b）/2]2，有且只有a、b相等時可取“=”。

第三，若ab>0，則有a/b+b/a≥2，有且只有a、b相等時可取“=”。

第四，若a，b R*，且a+b=s、ab=p，則當p取定值時，有且只有a、b相等時，s有一最小值，為2p1/2；當s取定值時，有且只有a、b相等時，p有一最大值，為s2/4。

二、高中數學解題中不等式的應用

1.求取函數最值

求取函數最值是高考數學主要考點之一，相應的求取方法也有很多，如果在求取函數最值時利用不等式，則會衍生出很多解題思路。如：x<5/4，求y=4x-2+1/（4x-5）最大值。在求解類似的題目時大多會用到函數單調性的方法，但這種方法不僅涉及較多的計算，而且出錯率較高。而若采用不等式進行求解，可在保證正確率的基礎上減少計算時間。

2.解決參數取值問題

參數取值是困擾我們解題的難點之一，無論是利用導數還是數形結合的方法進行解決，都十分復雜而且容易出錯。事實上，對于此類方法也可以使用不等式來解決。通過對參數的化簡，使其位于不等式其中一邊，然后用x表示其變量關系，如a≤x2+2x-3，此時可將含有x的不等式一邊設為函數f（x），然后運用函數基本原理進行求解即可。

3.不等式應用易錯點

第一，由于未對參數變量符號給予足夠重視導致出錯。沒有對不等式的參變量符號引起足夠重視而出錯是解不等式題與利用不等式解其它題時的常見現象。基于此，在解題時必須重視參變量的符號，盡可能防止出錯，為解題奠定良好的基礎，在保證正確率的基礎上加快速度。例如：（1+x）/（1-x）>0的解集為？該題是高中不等式最基礎的題型，容易出錯的點是忽視了x的符號，得出x>1與x<-1的解集，但實際上該題在考慮x符號后的正確解集為-1

第二，由于性質應用不正確導致出錯。不等式定理及性質是求解不等式問題或采用不等式求解其它問題的重要基礎，雖然不等式定理及性質并不難理解，但在實際情況中卻不乏出錯的現象。

如：已知x、y均為正數，且滿足x+y=1，則Z=（x+1/x）（y+1/y）的最小值為？

解：整理可得Z=2/xy+xy-2。設xy=a，則有0

而在實際解題時，經常會出現下列錯誤：

錯誤1：由于a>0，則a+1/a≥2，所以Z≥4，可得Z的最小值為4；

錯誤2：由于Z=2/xy+xy-2≥（2xy/xy）1/2-2=21/2-2，可得Z的最小值為21/2-2。

通過對錯誤產生原因的分析可知，錯誤1只有在x=y=1時才成立，與已知條件x+y=1不符；錯誤2只有在xy=21/2時才成立，與0

第三，高次不等式解題常見錯誤。高次不等式也是高考數學的重要考察項目，作為常見題型的一種，其出錯率相對較高，通過對出錯原因的統計，得出以下三個關鍵點：其一，沒有找到和利用題目給出的隱藏條件，或沒有重視隱藏要求，最常見的就是沒有考慮分母不得為0的要求；其二，沒有確定題目解集區間，或在得出解集區間之后，未能確定區間邊界，即邊界值的確定較為模糊；其三，在利用穿根法解決實際問題時，不能確定函數遵循的變化規律，最終給出錯誤結果。針對以上三種常見出錯原因，有必要制定針對性的解決和預防辦法，在按照正確流程進行解題的同時充分考慮出錯原因，避免以前出過的錯誤再次發生，從而提高正確率。

高中數學中不等式可在很多種題型中應用，是一個重要的解題工具。熟練、正確的使用不等式解決問題，既能快速、準確的解決問題，提高考試成績，還能拓展思維方式，培養創新思維能力。

參考文獻

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