立體幾何中空間向量的運用

【摘 要】針對立體幾何問題求解的重要法寶——空間向量，首先對采用空間向量可以解決的立體幾何問題進行簡單的分析與總結，提出綜合計算公式，在此基礎上結合實例，對綜合計算公式的具體應用進行分析，為更好的學習和掌握空間向量運用方法提供參考。

【關鍵詞】立體幾何 空間向量 運用

空間向量是求解立體幾何問題的關鍵工具，幾乎所有立體幾何問題都要用到空間向量，因此對空間向量在立體幾何中的具體應用進行分析，并適當作出一定的總結，對提高我們的理解度是具有重要意義的。

一、空間內所成角度

1.由異面直線形成的角

兩條異面直線分別記作l1和l2，設這兩條異面直線的向量分別為向量a和向量b，此時即可采用以下公式計算直線l1和l2余弦角。Cosθ=|a·b|/|a|·|b| （1）

2.由平面和直線形成的角

一個平面和一條直線分別記作l和α，兩者所形成的角記作θ，設直線與平面的向量分別為a和b，a為直線方向向量，而b為平面法向量，此時即可采用以下公式計算直線l和平面α的余弦角。 Sinθ=|a·b|/|a|·|b| （2）

3.由兩個平面形成的角

兩個平面分別記作α和β，兩者所形成的角記作θ，設兩個平面的法向量為a和b，則可采用以下公式計算兩平面所形成的余弦角。 Cosθ=|a·b|/|a|·|b| （3）

通過以上分析可以看出，空間內形成的角主要分為三種，即銳二面角、線線角與線面角，它們的計算可統一采用以下公式進行： Cosα=|a·b|/|a|·|b| （4）

二、空間內所成距離

1.直線間距離

將兩條異面直線分別記作a和b，兩直線有一公垂線，其方向向量用n表示，在直線上隨機選取兩點P和M，則這兩條直線之間的距離可采用以下公式進行計算：d=θ=|PM·n|/|n| （5）

2.點和平面間距離

點P和平面α在平面外隨機選擇一點p，平面法向量記作n，從平面上一點M引一條直線和點p相交，形成一條斜線PM。平面法向量的斜線PM射影為：||PM|·cosθ|=|PM·n|/|n|，則點p和平面之間的距離可采用以下公式進行計算：d=||PM|·cosθ|=|PM·n|/|n| （6）

通過以上分析可以看出，空間內形成的距離主要分為兩種，即直線間距離與點和平面間距離，它們的計算可統一采用以下公式進行：d=|PM·n|/|n| （7）

三、實例分析

ABCD-A1B1C1D1是一個正方體，棱長相等為4，CC1棱上存在一點P，CP=1/4CC1。

（1）求平面BCC1B1和AP夾角；

（2）求平面ABD1和點P間的距離；

（3）求D1B和AP之間的距離；

（4）求D1P-A-BD夾角。

解：首先在正方體ABCD-A1B1C1D1中建立直角坐標系，根據題意可以得出A點、B點、P點和D1點的坐標，即：A=（4，0，0）；B=（4，4，0）；P=（0，4，1）；D1=（0，0，4）。

（1）AP方向向量為（-4，4，1），設BCC1B1有一個法向量m為（0，-4，0），二者所形成的角記作θ，則有sinθ=|AP·n|/|AP|·|m|=4·331/2/22，由此可得平面BCC1B1和AP的夾角為arcsin4·331/2/22。

（2）設ABD1有一個法向量m為（1，a，b），根據m·AB=0與m·AD1=0可得4a=0與-4+4b=0，進而有a=0和b=1，則m為（1，0，1）。由此可得平面ABD1和點P間的距離為：d=|PM·m|/|m|=3·21/2/2。

（3）BD1和AP存在一個公共法向量，通過計算可以求出這一公共法向量m為（5，3，8），而AD1的方向向量通過計算可得為（-4，0，4），由此可以得出D1B和AP之間的距離為：d=|AD1·m|/|m|=6·21/2/7。

（4）設n為APD1法向量，經計算其結果為（4，3，4）。DD1為ABCD法向量，經計算其結果為（0，0，4）。由此可以得出D1P-A-BD夾角余弦值為：cosα=d=|DD1·n|/|DD1|·|n|=4·411/2/41，則α為arccos4·411/2/41。

綜上所述，立體幾何問題是高中數學的重難點，不僅涉及大量的抽象推理，而且還要求我們有較強的空間想象能力。而空間向量在立體幾何領域的正確應用，除了能使復雜的要素位置關系變得更加清晰，而且還能通過簡單的計算繞開推理與想象，直接給出結果，從而簡化立體幾何問題求解，為我們處理立體幾何難題提供有效的法寶。

參考文獻

[1]趙山博.空間向量在立體幾何問題中的運用探討[J].科技展望，2017（03）：310.