直線方程中的對稱問題

對稱問題是高中數學的重要內容之一 ，函數的對稱性是函數的一個基本性質，在高考數學試題中常出現一些構思新穎解法靈活的對稱問題，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷的使 問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美，直線的對稱問題又是我們學習平面解析幾何過程中的不可忽視的問題，為使對稱問題的知識系統化、條理化、規范化，我們可以把直線中的對稱問 題主要歸納為：點關于點對稱點，線關于點對稱，點關于線對稱，線關于線對稱問題，下面我們來一一探討：

一、點關于點對稱問題

解決點點對稱問題的關鍵是利用中點坐標公式，同時也是其它對稱問題的基礎平面內兩點， 則 的中點坐標 設點 關于點 對稱點為 ，由中點坐標公式可得 ∴平面內點 關于 對稱點坐標為 。

例：1求①點 關于點 的對稱點 的坐標；② 關于點 對稱，求點 坐標。

解：由題意知點 是線段 的中點。所以易求① ，② 。

二、線關于點對稱問題

求直線關于某一點的對稱直線的問題，一般轉化為直線上的點關于點的對稱問題。

例2：求直線 關于點 的對稱直線 的方程。

解法1：在直線 上任取一點 關于 的對稱點 ， 。 ， ， 。

解法2：由兩直線關于點對稱，易知兩直線平行，則對稱點到兩直線的距離相等，求出直線方程。設對稱直線方程為 ， ， ， 。

解法3：在已知直線上取兩點 求出關于 的對稱點再求過這兩點的直線方程即可。

三、點關于線對稱問題

求定點關于定直線的對稱問題時，根據軸對稱定義利用：（1 ）兩直線斜率互為負倒數，（2）中點坐標公式來求得。

例3：已知點 ，直線 ，求點P關于直線L的對稱點 的 坐標。

解法：設 ，則 的中點坐標為（ ），且滿足直線L的方程 ，又∵ 與L垂直，且 ，L斜率都存在，∴ 即有 ，即 ，∴ ，∴ 。

四、線關于線的對稱問題

求直線關于直線的對稱問題一般轉化為點關于 直線對稱問題，即在已知直線上任取兩個不同點，求出這兩點關于直線的對稱點，再求出直線方程。

例4：求已知直線 關于直線 對稱的直線方程。

解法1：在 上任取一點 ，關于直線 的對稱點 ，∴ 的中點坐標 滿足直線 方程 ∴ 。又∵ 的斜率 ，∴ ∴

∴ ∴ 代入 ，得 ，故所求直線方程為：

解法2：在 上任取一點 ，∵直線 的斜率為3，∴過點 且與直線 垂直的直線斜率為 ，方程為 ， ，得 。所以點 為直線 與 的交點，利用中點坐標公式求出 關于 的對稱點坐標為 又直線 與 的交點也在所求直線上。由 ，得 所以交點坐標為 ，過 和 的直線方程為 ，故所求直線方程為 。當然在實際教學過程中線關于線對稱的求解過程較復雜，計算量大，特別是遇到四個未知九 ，不知道把 當成已知數，求 ，我在實際教學過程中為使對稱問題的知識系統化，我在 教學中特作以下歸納：（1）點 關于原點對稱的點為 ；（2）點 關于 軸對稱的點為 ；（3 ）點 關于 軸對稱的點為 ；（4）點 關于直線 對稱的點為 ；（5）點 關于直線 對稱的點為 ；（6）點 關于直線 對稱的點為 ；（7）點 關于直線 對稱的點為 ；（8）曲線 關于點 的對稱曲線的方程 ；（9）曲線 關于 軸和 軸對稱的曲線方程分別是 和 ；（10） 曲線 關于直線 和 對稱的曲線方程分別是 和 ；（11）關于直線 和 對稱的曲線方程分別是 和 。當然我們在解此題時也可以在L上取一個特殊點 ，求此關于直線的對稱 的對稱點，再求L與 的交點，這樣求出對稱直線，當然為使對稱問題的知識系統化，我在教學中特作以下歸納：①曲線 關于點 的對稱曲線的方程是 。②曲線 關于直線 對稱的曲線方程是 ， 。特別地曲線 關于：① 軸和 軸對稱的曲線方程分別是 和 ；②關于直線 和 對稱的曲線方程分別是 和 ；③關于直線 和 對稱的曲線方程分別是 和