一道“正整數按規律排列”的習題的探索

近年數學中考和初中數學競賽考試中出現了很多把正整數按一定規律排列后，然后探索其變化規律解決問題的題目，學生由于知識面窄，大部分學生很難順利完成，因此有必要對這類進行深刻的探索與研究，讓學生很好的掌握這類題的解題思路和解題規律。正整數按規律排列的習題的探索，就是要廣泛收集問題所給的信息，合理選擇已有的知識和方法，經過觀察猜想、推演計算等得出結論的過程。

規律探索型問題的特點在于問題結論不直接給出，需要通過觀察、分析、歸納、概括、推理、判斷等一系列探索活動逐步確立應有的規律。

【引例】將正整數按如圖所示的規律排列下去，且用 表示位于從上到下第n行，從左到右第m列的數，如： ，若 ，則有序數對 表示的坐標是（ ）

【探索】觀察排列規律發現：①從1開始，第n排排n數，呈蛇形順序接力，即：第1排1個數，第2排2個數，第3排3個數，第n排n個數；②奇數排從左到右由小到大，偶數排從左到右由大到小；③從第1排開始，各排的數字之和有一定規律，即奇數排的和等于最后這排最右邊的數，偶數排的和等于最后這排最左邊的數，如：1+2+3=6，6為第3排最右邊的數，1+2+3+4=10，10為第4排最左邊的數；④奇數排最左邊的第1個數等于最右邊的數減排數加1，如：4（第3排最左邊的數）=6（最右邊的數）-3（排數）+1，偶數排最右邊的數等于最左邊的數減排數加1，如7=10-4+1；⑤要確定的數在幾排幾列，先確定這個數在第幾排，再確定它在第幾列；⑥要確定的數要小于等于所有排數之和，如 中，5﹤1+2+3， 中，10=1+2+3+4，⑦正整數的和： （n為正整數）.

【解析】先由 得： ，而 ∴ ，又∵第63排是奇數排，從左到右由小到大，∴2016是第63排最右邊的數，即第63排的第63列的數，從右往左數第60列就是2013，故數對 表示的坐標是A.

（一）已知有序數對表示的數，求有序數對

【例1】將正整數按如圖所示的規律排列下去，若有序實數對（n，m）表示第n排從左到右第m個數，如（4，2）表示9，則表示58的有序數對是 .

【解】∵ ，且1+2+3+…+11=66﹥58

又∵第11排是奇數排，從左到右由小到大，∴66是第11排最右邊的數，即第11排的第11列的數，從而，第11排最左邊的那個數是：66-11+1=56，即第11排第1列的數是56，所以，從左數到右第3列的數是58，故表示58的有序數對是（11，3）.

【例2】將正整數按如圖所示的規律排列下去，若有序實數對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數，如（4，2）表示實數9，則表示實數1962的有序實數對是______.

【解】∵ ，且1+2+3+…+63=2016﹥1962

又∵第63排是奇數排，從左到右由小到大，∴2016是第63排最右邊的數，即第63排的第63列的數，從而，第63排最左邊的那個數是：2016-63+1=1954，即第63排第1列的數是1954，所以，從左數到右第9列的數是1962，故表示1962的有序數對是（63，9）.

（二）已知有序數對，確定它表示的數

【例3】將正整數按如圖所示的規律排列下去.若用有序實數對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數，如（4，3）表示實數9，則（100，50）表示的實數是 .

【解】∵1+2+3+…+100=5050，且第100排是偶數排，從左到右由大到小，∴5050是第100排的第1個數，第50個數是5050-50+1=5001，∴（100，50）表示的實數是5001.

【歸納】正整數呈蛇形順序接力分布時，若“已知有序數對表示的數，求有序數對”時，先求出此數的2倍的算術平方根（精確到個位），此算術根即為排數，再求排數之和，最后根據奇偶排確定和是最左邊還是最右邊的數，從而找出列數；若“已知有序數對，確定它表示的數”時，先求排數之和，再根據奇偶排確定和是最左邊還是最右邊的數，最后依據列數找出要確定的數.