關于教材書后習題的有趣發現

在人教B版教材選修2-1 70頁習題2-5A有這樣一道習題已知橢圓，點A，B分別是它的左右頂點，一條垂直于軸的動直線與橢圓相交于P，Q兩點，又當直線與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，求直線AP與直線BQ的交點M的軌跡。

我們可以這樣來解答：可以設出P點坐標，Q易知：直線AP方程可以設為①；直線BQ方程可以設為②。令①②相乘得到③；又因為點P在橢圓上，所以，可以推出代入③整理可以得到。從結果上我們不難觀察出來，得到的雙曲線方程與已知的橢圓方程形式非常像，這就引發了我的思考，PQ兩點是關于軸對稱的，我們可以看成是一個動點P在已知曲線上移動，這樣兩條動直線的交點就在另外的軌跡上移動。如果PQ兩點是關于軸對稱的，我們能得到類似的曲線嗎？

這時我們不妨設橢圓，依然可以設P點坐標，Q直線AQ方程可以設為①；直線BP方程可以設為 ②；①②聯立，整理可以得到，代入 即可得到。顯然結果證實了我們的猜測，當PQ兩點關于軸對稱的時候，得到的雙曲線基本型是，當PQ兩點關于軸對稱的時候，得到的雙曲線基本型是。在隨后的做題過程中我又遇見了這樣一道題，請同學們看這題：對于雙曲線C：（），定義：為其伴隨曲線，記雙曲線C的左右頂點分別是A，B.

（1）略

（2）若雙曲線的方程為，點P，Q在雙曲線C上，且軸，記直線PA與直線QB的交點為M，求動點M的軌跡方程。

易知：直線AP方程可以設為①；直線BQ方程可以設為②；令①②相乘得到③。又因為點P在橢圓上，所以，可以推出代入③。整理可以得到（）。在這里，同學們可以見到伴隨曲線這個新詞，我特意查了一下伴隨曲線的意思：對于已知平面曲線C上的各點M，取同平面上的點P和它對應，即.當點M在曲線C上移動時，點P一般也要伴隨點M而運動，設點P的軌跡為，則為C的伴隨曲線，M和P互為相伴點。

接下來再談談我的體會，在上道題中，初始的曲線是雙曲線，最后求出來的是橢圓，而最開始的兩道題初始的是橢圓，最后的伴隨曲線是雙曲線，這顯然意味著他們是互為伴隨的曲線。并且互為伴隨的兩個曲線非常相似：題1中的兩個互為伴隨的曲線大致圖像為：

題2中的兩個互為伴隨曲線的大致圖像為：

題3中的兩個互為伴隨的曲線大致圖像：

也許這只是我粗淺的認識伴隨曲線，于是我再次理解伴隨曲線的定義，對于已知平面曲線C上的各點M，取同平面上的點P和它對應，即.當點M在曲線C上移動時，點P一般也要伴隨點M而運動，設點P的軌跡為，則為C的伴隨曲線，M和P互為相伴點。我發現也許伴隨不一定是只有橢圓和雙曲線，比 如：（2014課標Ⅰ.20.節選）已知點P（2，2），圓C：，過點P的動直線與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點，求M的軌跡方程。

由圖不難看出點M在以CP為直徑的圓上運動，所以可以求出M的軌跡方程：，再如：已知圓C：，過原點O作圓C的任意弦，求所作弦的中點軌跡方程。

都是一個道理，所以我想也許這種對應的動點之間的關系都可以稱之為伴隨關系吧。