“數(shù)學(xué)模型”的思考

[摘 要] 職業(yè)學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)弱化理論，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。選用合適的數(shù)學(xué)模型來提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是十分必要的。

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)學(xué)模型；問題處理；數(shù)學(xué)方法

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）24-0145-01

數(shù)學(xué)模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實際問題的一種數(shù)學(xué)方法。而數(shù)學(xué)模型就是把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映實際問題時所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述。

下面談?wù)勛约簩Α皵?shù)學(xué)模型”一些的體會。

一、建立“數(shù)學(xué)模型”的必要性

當(dāng)今數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育可歸結(jié)為：歸納、演繹、建模、創(chuàng)新，但傳統(tǒng)的教學(xué)偏愛于歸納、演繹而輕視建模、創(chuàng)新，導(dǎo)致題越解越難，但面對實際問題時卻又一籌莫展。所以我們不僅要重視“數(shù)學(xué)模型”中基礎(chǔ)知識和基本技能的靈活轉(zhuǎn)化和應(yīng)用，更要重視接受實踐的檢驗。應(yīng)添加實踐性的題目，加大數(shù)學(xué)在現(xiàn)實中的應(yīng)用。只有這樣才能讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，在實際中能主動運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行建模。這對培養(yǎng)數(shù)學(xué)的興趣、深化理解的層次、增長創(chuàng)造才干，都是非常有益的。

二、如何用“數(shù)學(xué)模型”方法研究實際問題

（一）“數(shù)學(xué)模型”必須從問題開始

模型的建構(gòu)是一種創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維活動。思維自疑問始，沒有問題就不可能有創(chuàng)造性思維。教學(xué)實踐證明，設(shè)定一個或幾個難度恰當(dāng)?shù)膯栴}對“數(shù)學(xué)建模”至關(guān)重要。

例如，學(xué)完函數(shù)后，結(jié)合學(xué)生特點及所學(xué)知識，以某種品牌的洗發(fā)精的價格及銷售量為題，并列舉了幾個品牌在幾大商場及專賣店的價格與銷售量供學(xué)生參考。建議學(xué)生親自去調(diào)查，還制定了可行的方案：

1.條件假設(shè)：“在可解及較可靠”的原則下作出假設(shè)。

2.構(gòu)造模型：根據(jù)假設(shè)及價格與銷售量的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。

3.計算模型：根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)求出模型的待定系數(shù)。

4.驗證模型：帶入新數(shù)據(jù)將結(jié)果與實際進(jìn)行比較、驗證、分析、改進(jìn)。

完成整個模型以后，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有了新的認(rèn)識。

筆者認(rèn)為問題的設(shè)定必須遵循四個原則：（1）課題來源于生活，來源于實踐，要與人們生活密切相關(guān)而學(xué)生又有興趣的問題。（2）數(shù)據(jù)要真實、可靠且比較容易采集。（3）問題的不可遇見的隨機(jī)性的變化狀態(tài)要少一些。（4）語言通順，文字流暢，沒有病句。

（二）“數(shù)學(xué)模型”必須構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪Ｐ皖愋停訌?qiáng)基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用

許多實際問題可通過現(xiàn)象提煉出其數(shù)學(xué)本質(zhì)，故構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪Ｐ皖愋褪直匾！皵?shù)學(xué)模型”的類型很多，下面介紹三種

類型：

1.函數(shù)模型。圖像法和解析法是表示函數(shù)的最基本方法，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化是活用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思想。所以要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，突出函數(shù)主線地位，加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用。

例如，某火車以120km/h的速度從甲地到300km遠(yuǎn)處的乙地，在乙地停留1h后，再以150km/h的速度返回乙地。把火車離開甲地的路程x（km）表示為時間t（h）（從甲地出發(fā)時開始）的函數(shù)，再把車速v km/h表示為時間的函數(shù)。

這是實際應(yīng)用問題，解題過程是從問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題實際意義做出回答。

2.幾何模型。立體幾何知識涉及空間想象的內(nèi)容比較多，要求培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，多舉例分析，加強(qiáng)基本圖形的識圖。現(xiàn)實中有許多問題要用到幾何知識，需要從實際問題中能較好地抽象出幾何圖形，從而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題加以解決。舉一個爬山問題例子：

登山運(yùn)動員爬山，山坡的傾斜角是30°，運(yùn)動員沿著一條河坡底線成60°的道路由坡底向上走了100公里，問升高了多少

公里？

解題步驟為：（1）先審題，發(fā)現(xiàn)是二面角問題。（2）據(jù)題意，畫出圖形。（3）解數(shù)學(xué)問題，得出結(jié)論。

3.向量模型。以向量為工具可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算性質(zhì)，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合。這樣通過向量就比較容易地解決幾何中的某些問題。因此，許多數(shù)學(xué)公式應(yīng)用向量進(jìn)行推導(dǎo)，顯得格外簡捷明了。向量是研究幾何學(xué)、物理學(xué)和其他自然科學(xué)的有效工具，有十分廣泛的應(yīng)用。下面僅以位移向量為例：一人從A點出發(fā)，向東走500m到達(dá)點B，接著向東偏北30°走300m到點C，求這個人的位移。

三、“數(shù)學(xué)模型”在教學(xué)中的應(yīng)用

（一）設(shè)計問題系列，深化知識建模

學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上通過思考、學(xué)習(xí)，經(jīng)過合理內(nèi)化，就建立了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在此過程中教師擔(dān)負(fù)著設(shè)計者與引導(dǎo)著的角色。對于“數(shù)學(xué)模型”中的基礎(chǔ)知識，基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)根據(jù)循序漸進(jìn)的原則從簡到繁，從易到難地編擬問題系列，引導(dǎo)學(xué)生抓住其中的本質(zhì)，提取出數(shù)學(xué)模型加以解決。

在講指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用時，列舉當(dāng)今社會的熱點問題：

某人現(xiàn)有存款100萬元，如果在某銀行買理財年收益率為4.2%，試解答下面的問題：（1）寫出該人存款總數(shù)y（萬元）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式；（2）計算5年以后該人的存款總數(shù)（精確到0.1萬元）；（3）計算大約多少年以后該人的存款數(shù)將達(dá)到130萬元（精確到1年）。

85%以上的學(xué)生能應(yīng)用所學(xué)的知識解決它，極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，圓滿完成任務(wù)。

等學(xué)生在學(xué)習(xí)等比數(shù)列后，我又拿出此題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這也是一個等比數(shù)列的實際應(yīng)用，這樣既做到一題多解，又使學(xué)生明白數(shù)學(xué)模型的不唯一性。但不管用哪種方法建模，其本質(zhì)是一樣的。

（二）教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題

1.題目應(yīng)根據(jù)學(xué)生原有的基礎(chǔ)和認(rèn)知水平去把握，不宜過難，否則會使學(xué)生產(chǎn)生畏難的心理。

2.題目應(yīng)以大綱為準(zhǔn)繩、以教材為依據(jù)，使建模教學(xué)既能達(dá)到基礎(chǔ)知識的要求又能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

3.要重視對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的工具作用。