高中數(shù)學(xué)解題方法及技巧探討

摘 要：高中數(shù)學(xué)教師不但要重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，還應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，掌握正確的解題技巧和方法，從而提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。本文圍繞高中數(shù)學(xué)中常用的解題技巧和方法，通過具體實(shí)例就其實(shí)際運(yùn)用進(jìn)行深入分析和探討，以供借鑒。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題技巧；解題方法

高中數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性。學(xué)生不但要學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用。科學(xué)系統(tǒng)的解題方法和解題技巧對(duì)于學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)具有積極的作用。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視教給學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的技巧，提高他們的應(yīng)用能力。

一、高中數(shù)學(xué)解題技巧

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)其開放性思維。教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣，掌握科學(xué)有效的解題技巧，培養(yǎng)其舉一反三的能力。另外，通過解題技巧的運(yùn)用，學(xué)生還能學(xué)會(huì)具體問題具體分析，通過理性思考把握問題的本質(zhì)。

具體來說，解題技巧在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中至關(guān)重要，掌握科學(xué)的解題技巧有助于簡化數(shù)學(xué)問題，找到解題的突破口，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。解題技巧的掌握是以細(xì)致的觀察為基礎(chǔ)的。在運(yùn)用解題技巧時(shí)，學(xué)生首先要了解問題類型，把握問題所考查的知識(shí)點(diǎn)，然后針對(duì)問題進(jìn)行有選擇性、有目的性的分類和加工，找出問題的題干，然后再針對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行解析。

1. 條件分析

任何數(shù)學(xué)問題都會(huì)包含兩種條件，即已知條件和隱含條件。首先應(yīng)當(dāng)清楚題中明確給出或是隱含的條件，然后依據(jù)題目的要求將所有已知條件及隱含條件予以適當(dāng)簡化和處理，這樣就可以變抽象為簡單，復(fù)雜的問題就可以迎刃而解。

2. 條件和求解目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性

從已知條件到問題的求解，往往需要諸多復(fù)雜的過程和解題思路，包括邏輯推理及復(fù)雜的運(yùn)算過程等，這需要學(xué)生認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎肌Ｒ阎獥l件與解題目標(biāo)之間存在何種關(guān)聯(lián)性，是解題的關(guān)鍵。學(xué)生可以對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行正向推理，也可以通過分析求解目標(biāo)找出二者之間的聯(lián)系，這可以借助運(yùn)算、草圖、推理等，把握條件與求解目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)性，最終找到解題的突破口，解決問題。

3. 確定解題的思路

任何數(shù)學(xué)問題的條件與求解目標(biāo)之間必然會(huì)存在一定的關(guān)聯(lián)性，而這種關(guān)聯(lián)性往往貫穿著諸多的數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)概念及性質(zhì)等。總的來說，解題的關(guān)鍵就在于分析其中的關(guān)聯(lián)性，明確應(yīng)用哪些定理、概念或是性質(zhì)。一些數(shù)學(xué)問題可以用多種方法求解，這就是已知條件與求解目標(biāo)之間可以用多種數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)性質(zhì)等來進(jìn)行表達(dá)。

上述所講的解題技巧，通過下面的例子進(jìn)行具體講解。

例1 已知x2+（a-2）x+a-1=0有兩個(gè)根，分別為x1、x2，而點(diǎn)P（x1，x2）恰好在圓x2+y2=4上，求a的值。

解析：首先，找出題中給出的已知條件：①點(diǎn)P位于圓上，也就是點(diǎn)P的坐標(biāo)適合圓的方程，有x21+x22=4；②x1、x2是方程的兩個(gè)根，有x21+（a-2）x1+a-1=0，x22+（a-2）x2+a-1=0。然而通過這兩個(gè)條件無法順利解出a的值，還需要進(jìn)一步分析問題，找出其中的隱含條件。

其次，x2+（a-2）x+a-1=0為一元二次方程，且有兩個(gè)根，此時(shí)可以引入拋物線f（x）=x2+（a-2）x+a-1，而x1、x2為此拋物線與x軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)（x1，0）、點(diǎn)（x2，0），根據(jù)拋物線的性質(zhì)，點(diǎn)（x1，0）與點(diǎn)（x2，0）一定關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸呈軸對(duì)稱，此時(shí)有x1+x2=a-2。這樣加上上述兩個(gè)已知條件，可以構(gòu)成一個(gè)三元二次方程組，解此方程組就可以得出a值。

二、解題方法的實(shí)例分析

新課改對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科提出新的要求，教師和學(xué)生都應(yīng)當(dāng)打破以往僵化死板的解題方法的束縛，創(chuàng)新思路，學(xué)會(huì)舉一反三，善于多角度分析問題，運(yùn)用科學(xué)有效的解題技巧和解題方法提升教學(xué)效率。數(shù)學(xué)問題不是一成不變的，只有掌握有效的解題方法，勤于思考和變通，才能解決問題。高中數(shù)學(xué)的每一章節(jié)都有其特有的解題方法，但縱觀整個(gè)高中數(shù)學(xué)，筆者認(rèn)為轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合、換元法、反證法等解題思想和方法是運(yùn)用最為普遍的。

1. 轉(zhuǎn)化法

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)體系中重要的思想之一，其基本思路就是將已知的問題由一種形式轉(zhuǎn)化為另外一種更為簡單或是與解題相關(guān)的形式，以此達(dá)到解題的目的。運(yùn)用轉(zhuǎn)化法能夠簡化數(shù)學(xué)問題或求解過程，有助于學(xué)生更為便捷地找到解決數(shù)學(xué)問題的方法和思路。對(duì)于一些較為抽象或是復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理和性質(zhì)等探討與解題有關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問題。轉(zhuǎn)化法被廣泛應(yīng)用于三角函數(shù)、最值、概率等問題的求解，下面通過三角函數(shù)求解問題具體闡述轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。

例2 已知直線方程3x+4y+m=0和圓（x=1+cosθ，y=-2+sinθ）二者之間無公共點(diǎn)，求參數(shù)m的取值范圍。

解析：根據(jù)已知條件對(duì)問題進(jìn)行簡化，有4sinθ+3cosθ=5-m，又由于直線與圓沒有公共點(diǎn)，且有-5≤4sinθ+3cosθ≤5，由此可以求解出m的取值范圍，即m>10或m<0。

2. 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合思想也是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，其主要關(guān)注數(shù)和形兩個(gè)方面，著眼于數(shù)量關(guān)系及空間形式，觀察二者之間的關(guān)聯(lián)性，有助于找出解決數(shù)學(xué)問題的突破口。在填空題和選擇題中如果給出數(shù)量關(guān)系，就可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題。數(shù)形結(jié)合法在求解函數(shù)問題中的應(yīng)用較為廣泛。

3. 換元法

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生經(jīng)常遇到復(fù)雜的整式，若機(jī)械地依照整式逐一解題，不但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還會(huì)加大解題難度，不利于對(duì)問題的分析。換元法在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到，主要是指定義一個(gè)未知的變量來替換整式中所出現(xiàn)的統(tǒng)一表達(dá)式，以此來簡化整式的結(jié)構(gòu)，并借助已知條件求出替換變量，然后對(duì)替換變量進(jìn)行解答得到最終結(jié)果。

例3 已知實(shí)數(shù)x、y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，求代數(shù)式■+■的值。

解析：解這道題的關(guān)鍵在于如何運(yùn)用換元法將S=x2+y2進(jìn)行替換，以達(dá)到簡化整式的目的。通過回顧所學(xué)過的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生很容易想到三角函數(shù)中正余弦平方和公式，即sin2A+cos2A=1，此時(shí)可以運(yùn)用這一公式，將題目中的x、y分別用三角函數(shù)進(jìn)行替換，即令x=■sinA，y=■cosA，然后將還原后的整式代入方程4x2-5xy+4y2=5，借助三角函數(shù)自身值域[-1，1]求解整式■+■的值。

4. 反證法

反證法是解決諸多數(shù)學(xué)問題，尤其是證明題的常用方法。反證法是先否定原始命題的結(jié)論，然后運(yùn)用反向思維進(jìn)行推理，直至得出的結(jié)論與高中數(shù)學(xué)中既定的公式、定理、性質(zhì)或是基本概念等相違背，以此證明之前的否定是錯(cuò)誤的，從而間接證明原始命題是正確的。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。掌握科學(xué)有效的解題技巧和解題方法對(duì)于學(xué)生提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率至關(guān)重要。因而，高中數(shù)學(xué)教師不但要重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，還應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，掌握正確的解題技巧和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的分析和解決能力。

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作者簡介：吳英漢（1982— ），男，漢族，山東汶上人，本科，研究方向：數(shù)學(xué)高考命題趨勢。