淺議高考數學復習的選題

進入緊張的高考“復習季”，如何科學、合理地選擇習題以提高復習的效率，是許多高中數學教師關注的熱點和焦點，筆者結合自己的教學實踐和研究經驗，談幾點認識與做法，供同仁們參考.

一、高考數學復習選題的誤區

在多年的高考復習調研中，筆者發現很多數學教師在選題方面存在不少困惑和問題，影響了復習效果，具體表現如下：

1.重經驗，輕考綱.有些教師不愿意花時間研讀當年的《普通高等學校招生全國統一考試大綱》（以下簡稱《考試大綱》）和歷年的高考真題，教學中僅憑借有限的經驗選擇例題或習題，導致教學的針對性不強.甚至有些教師，對于《考試大綱》中已經刪除的內容，仍然選編大量的陳題，不厭其煩地進行講練.

2.重資料，輕教材.有些教師將復習資料奉為“圣經”，不加選擇地照搬復習資料上的例題和習題，從頭到尾，通講通練.而對于具有代表性、指導性和示范性的課本上的例題和習題，卻并未進行必要的回顧與提升，使復習課與新授課完全脫節.

3.重難題，輕基礎.有些教師誤以為基礎題起不到訓練解題能力的作用，熱衷于“刷”難題、偏題、怪題.豈不知，如果學生的基本功不扎實，盲目做題是低效的，甚至是無效的.只有學生的基本功扎實了，做題才會有所悟、有所得.

4.重技巧，輕通法.有些教師不僅在例題講解中輕視通性通法，偏好“奇思妙想”，而且在布置練習時也熱衷于選擇一些技巧性很強的題目，試圖借此培養學生的思維.這樣做，容易使學生眼高手低、華而不實.

5.重預設，輕生成.有些教師課前精心選編了習題，甚至制作了課件，上課時按部就班地進行講解，對學生在課堂上提出的疑惑和問題，往往視而不見或者避重就輕，不能隨機應變地對預設進行必要的調整、修正、拓展，大大削弱了課堂復習的效果.

6.重能力，輕識記.有些教師認為學習數學靠理解，不需要記憶，因此，選題時有意或無意地回避一些識記性的基礎題.殊不知，學生記不住數學公式、定理和法則，不積累一些通性通法，解題時就不可能熟能生巧，以不變應萬變.

二、高考數學復習選題的依據

1.回歸教材.教材是考生復習的范本，也是高考命題的依據.深挖教材例題、習題的功能，落實課本中典型問題的收集、歸類和典型方法的整理、總結工作，能夠使學生走出“題海”，做到抓綱務本、溫故知新.回歸教材可以從以下幾個方面來落實：

（1）追溯知識本原，對“被肢解”的模塊知識進行“復合”，還原其本來面目.

（2）挖掘思想方法，將隱藏在教材背后的數學思想方法挖掘出來，學以致用.

（3）整合變通教材，對各個版本的教材進行有效的整合，取長補短；同時，對教材中的不足和疏漏進行修正.

（4）重構知識體系，對高中數學內容進行系統地梳理，便于儲存、提取和應用.例如，整個高中數學內容可以通過“兩數”（函數、數列）、“兩式”（三角函數式、不等式）、“兩線”（直線與曲線、直線與平面）、“兩率”（概率與統計、導數中的變化率）四條主線串聯起來.

2.分析學情.教材、高考試題和教輔資料是高考復習的文本性資源，而學生的認知傾向、能力水平和實際需要則是高考復習的即時性資源.只有認真分析學情，才能抓住學生的“最近發展區”，提高復習的實效性.為此，每一輪復習結束后，教師可以通過單元檢測、摸底考試、問卷調查、課堂提問、個別訪談等方式，了解學生遇到的問題和學習需求，在此基礎上確定下一輪復習的重點和相關專題.筆者發現，以“數學思想方法”為專題進行第二輪復習，效果很不理想.后來，筆者聽取學生的意見，將第二輪復習專題改為“數學算法系列”（含三角函數的運算、向量運算、導數運算等）、“數學模型系列”（含函數模型、數列模型、統計模型等）和“專項訓練系列”（含知識綜合訓練、思想方法訓練、題型分類訓練等），取得了極佳的復習效果.

3.研究高考.縱觀近五年的高考試題，不難發現，年年歲歲“點”相似，歲歲年年“題”不同.因此，教師可以結合《普通高中數學課程標準》《考試大綱》和《2018年普通高等學校招生全國統一考試說明》（以下簡稱《考試說明》），認真研究濃縮了專家智慧的高考真題，抓住復習重點，診斷復習效果，把握高考方向，積累實戰經驗，提高復習的針對性.筆者一般從兩個入口研究高考真題：

（1）探源.探究試題的考查目標，如考查的知識水平和能力要求等；理解試題的命制立意，如試題的數學文化背景等；挖掘試題的學科內涵，如試題蘊含的思想方法和學科素養等.

（2）延展.分析試題的拓展空間，如變式教學和結論推廣等；分析試題的考查屬性，如通性通法和創新元素等；分析試題的教學功能，如命題規律和教學導向等.

4.關注素養.《考試大綱》規定：“能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識.”同時，《考試大綱》還指出：“對推理論證能力和抽象概括能力的考查貫穿于全卷，是考查的重點，強調其科學性、嚴謹性、抽象性；對空間想象能力的考查主要體現在對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉化上；對運算求解能力的考查主要是對算法和推理的考查，考查以代數運算為主；對數據處理能力的考查主要是考查運用概率統計的基本方法和思想解決實際問題的能力；對應用意識的考查主要采用解決應用問題的形式；對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查.”這就說明，高考復習備考時，教師選題應該緊扣《考試大綱》的要求，致力于培養考生的六大數學核心素養.

5.整合資源.每年高考前夕，全國各地都會發布大量的高考模擬試題、研討材料、專家視點和輿情分析，教師應該廣開渠道，收納信息，并將自己的理解滲透在復習選題之中，以拓展學生的視野.與此同時，學生在考前會大量“刷”題，其中不乏情境新穎、立意深遠、內涵豐富、科學嚴謹的好題，教師可以采用“征題征解”的方式將它們匯總，或改編成例題、習題和考題，運用于教學實踐中，做到兼容并包，博采眾長.每屆高三，筆者總喜歡在班上擺放三本手冊：“妙題精選”“錯題匯編”和“典例優解”，供同學們隨時記錄，隨時分享，極大地調動了學生自主復習的積極性.

三、高考數學復習選題的示例

下面，以《橢圓》一節的復習教學為例，談談具體的選題策略.

1.從教材例題入手，展開教學

【例題回放】（人教版選修2-1第41頁例3）設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是- ，求點M的軌跡方程.

2.對例題進行變式訓練

【變式訓練】（人教版選修2-1第55頁“探究”）點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們斜率之積是 ，試求點M的軌跡方程.

3.對作業進行溫故知新

【作業重溫】（人教版選修2-1第80頁復習參考題“A組”第10題）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡.

4.引導學生深入探究

【定義提煉】仔細觀察以上例（習）題，不難發現，“例題”中的點A，B即為所求橢圓長軸的端點，斜率之積恰為- .“變式”中的點A，B即為所求雙曲線實軸的端點，斜率之積恰為 .“作業”中，當-10時，頂點C的軌跡是以AB為實軸的雙曲線，m= .

于是，我們可以得到橢圓、雙曲線的第三定義：與兩定點A（a，0），B（-a，0）（a>0）連線的斜率之積等于定值- （或 ）的點的軌跡是橢圓（除長軸的端點）或雙曲線（除實軸的端點）.

5.對作業進行拓展訓練

【拓展延伸】在“作業重溫”中，當m<-1時，所求橢圓的長軸轉移到了y軸，由此可以提出猜想：“橢圓上任意一點與其同軸上的兩個頂點連線的斜率之積為定值”.

同理可證，雙曲線上任意一點與其同軸上的兩個頂點連線的斜率之積也為定值.

6.運用模擬試題組織學生逆向探究

【逆向探究】試證明：若M，N是橢圓 + =1（a>b>0）上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上異于M，N的任意一點，則直線PM，PN的斜率之積為定值.

7.選用高考真題進行實戰演練

【實戰演練】平面內與兩定點A （a，0），A （-a，0）（a>0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A ，A 兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m的關系；

（Ⅱ）當m=-1時，對應的曲線為C ；對給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞）對應的曲線為C .設F ，F 是C 的兩個焦點.試問，在C 上，是否存在點N，使得△F NF 的面積S=|m|a .若存在，求tan∠F NF 的值；若不存在，請說明理由.

四、高考數學復習選題的建議

高考復習選題沒有統一的標準和固定的模式，應該隨教材內容、教學對象、考綱要求和命題方向的變化而變化.在此，筆者補充以下四條建議：

1.教師多做題，學生才能接觸到“好題”.教師提供給學生的每一道習題，都應該事先認真做一遍，并且反復斟酌其代表性、科學性和合理性，防止出現錯題、偏題、機械重復的陳題等.這樣，才能使考生真正從“題海”中解放出來，做有利于加深對知識的理解、提升解題技能、提高復習效率的“好題”.

2.師生同解高考題，構建“備考共同體”.每年高考結束后，教師可以及時組織“準高三”的師生進行一次“高考仿真演習”，即完全按照高考的要求，師生一起定時、定點、同臺進行“準高考”.這樣做的好處：一方面，學生可以提前體驗高考的氛圍，及早進入備考狀態；另一方面，教師可以與考生“感同身受”，把握復習的方向.

3.教師也要查缺補漏.“新高考”強調：試題注重能力立意，不追求知識的覆蓋面.實際上，命題者越是“不追求知識的覆蓋面”，考生越要“面面俱到”，以防考場上在某個知識“死角”里“翻船”.為此，每個復習階段，我們都應該通過單元過關檢測等手段，幫助學生查缺補漏；或者指導學生畫知識體系和通性通法的思維導圖，形成個性化的知識鏈和方法群.需要提醒的是，教師也要隨時反思自己的教學，防止由于自己的思維習慣和選題傾向出現復習上的“盲區”.

4.建立教學題庫，服務平常教學.為了方便復習選題，提高習題質量，教師有必要建立自己的教學題庫.教學題庫的建立可以從以下幾個方面入手：（1）認真研讀《普通高中數學課程標準》《考試大綱》和《考試說明》，這是建立教學題庫的前提；（2）精心收集歷年高考真題、模擬試題、單元檢測題，這是建立教學題庫的源泉；（3）及時記錄具有創新性、典型性、針對性的優秀習題，這是建立教學題庫的基礎；（4）整理平時學生作業中出現的具有代表性的易錯題，這是建立教學題庫的關鍵；（5）持之以恒地修改、補充、積累和完善庫中習題，這是建立教學題庫的保障.

責任編輯 張 瑩