常數變易法的教學探討

徐術偉，裴麗敏

（1.嘉興學院 數理與信息工程學院，浙江 嘉興 314001；2.嘉興技師學院 商貿旅游系，浙江 嘉興 314033）

常數變易法的教學探討

徐術偉1，裴麗敏2

（1.嘉興學院 數理與信息工程學院，浙江 嘉興 314001；2.嘉興技師學院 商貿旅游系，浙江 嘉興 314033）

本文主要探索如何通過一階線性常微分方程和二階線性常微分方程的通解中任意常數，讓學生深刻理解常數變易法，并且討論常數變易法和積分因子法之間的聯系，從而加深對常數變易法的理解、掌握和運用.

常數變易法；微分方程；通解；積分因子法

數學的教學應該注重培養學生思考問題的方式和思維過程，這樣才可以讓學生真正了解和掌握解決問題的辦法.在《高等數學》和《常微分方程》的教學中，常數變易法是一種非常有效并且具有創造性的求解方程的辦法.但是教材對常數變易法并沒有進行深入探討，對其原理缺少詳細說明，學生往往只看到表面問題，不能深刻理解其本質.我們主要通過一階線性常微分方程和二階線性常微分方程的通解中任意常數C來讓學生深刻理解常數變易法的本質，并且討論常數變易法和積分因子法之間的聯系，從而加深對常數變易法的理解、掌握和運用.

1 一階線性常微分方程的常數變易法

形如y'+p(x)y=q(x)的方程稱為一階線性常微分方程，式中p(x)、q(x)為已知函數.若q(x)=0；稱此方程為一階線性齊次微分方程.若q(x)≠0；稱此方程為一階線性非齊次微分方程.下面我們通過一階線性常微分方程的求解來介紹常數變易法[1-3].

通過分離變量法可以得到其通解為:

將上式兩端進行積分，可以得到下面式子：

由于y是x的未知函數，不妨記

代入式子（6）得

其中φ(x)為待定函數，記

則式（8）可寫為

其中C(x)為待定函數.

將上述求解過程進行比較，可以發現方程（4）的通解（10）中，關于待定函數C(x)占據了通解（3）中C的位置.這樣也就很好解釋了為什么稱此方法為常數變易法，即非齊次線性方程（4）與它對應的齊次線性方程（1）的通解之間的聯系與區別之處.另外，我們在講授此過程時，應當先從利用分離變量法求解一階線性齊次常微分方程的解開始，然后繼續考慮一階線性非齊次常微分方程的解.但是在講授一階線性非齊次常微分方程的求解時，應當注意不應該直接把一階線性齊次常微分方程的通解（3）中變為C(x)，而是讓學生體會繼續沿著求解一階線性齊次常微分方程的思路，可以給出一階線性非齊次常微分方程的形式通解（10）.一般來說，方程（4）左端的和式不是一個完全微分式.但我們知道，并非任何含有y'和y一次二項式都不是全微分式.此形式通解（10）剛好是此特殊情況.其實后面從一階線性非齊次微分方程出發，利用積分因子方法，給出形式通解（10），可以啟發學生思維，是一種很容易接受并且具有一些創造力的辦法.

2 二階線性常微分方程的常數變易法

y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)稱為二階非齊次線性微分方程，y"+p(x)y'+q(x)y=0稱為y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)對應的二階線性齊次微分方程，其中p(x),q(x),f(x)都是關于x的已知連續函數.

下面考慮二階線性常微分方程[1-3][5]

的通解結構，其對應的齊次線性微分方程為

首先設方程（14）的通解為y=c1y1+c2y2，其中c1,c2為任意常數，且y1,y2是線性無關.所以利用線性微分方程的基本理論只要得到方程（15）的一個特解，就可以了.接下來，考慮利用常數變易法，不妨設其解具有以下形式：

把y(x)=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)代入方程（14），可得如下方程組：

由于y1(x),y2(x)線性無關，其系數行列式

解得：

則方程（14）的通解：

學生在學習的過程中，對二階線性常系數方程的常數變易法，會感覺到為什么可以設其通解為式（16），并且添加補充條件（17）后其還是非齊次方程（14）的通解.首先我們在講授時，應當回答學生根據前面一階線性常微分方程的常數變易法的學習，可以知道二階非齊次線性常微分方程具有（16）的形式通解.并且補充條件只是方便于后面的求解，至于其仍然為二階非齊次線性常微分方程（14）的通解，這主要是基于線性微分方程的基本理論所決定的.由于為任意常數，并且y1,y2是齊次方程（15）線性無關解.另外，當時，則知式子（22）中的y依然為方程（14）的解，即y是y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的一個特解，所以y=c1y1+c2y2+y3是y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解.其實這也是數學學習的重要作用，可以很好地啟發學生思維.雖然常數變易法很簡單，但是它給出了一些超出你想象的結果.不過，隨著你的知識和理解問題能力的提高，這些想象不到的問題，也就變成了自然，同時你也就得到了很好的鍛煉和提高.

其實對于二階非齊次線性常微分方程的求解還有積分因子法[1-4]，這種積分因子的辦法是基于前面學習的一階線性常微分方程的結果.這個結果也可以很好地讓學生理解為什么可以把二階非齊次線性常微分方程（14）的通解寫成式子（16）.

通過上面一階和二階線性常微分方程的常數變易法的學習，學生就可以很好地體會其基本含義，并且這種方法可以推廣到高階線性常微分方程，也對于偏微分方程的求解具有一定借鑒意義.

〔1〕王高雄，周之銘，朱思銘，王濤松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983.

〔2〕丁同仁.常微分方程定性方法的應用[M].北京:北京大學出版社,1987.

〔3〕同濟大學數學教研室編.高等數學[M]北京：高等教育出版社，2003.

〔4〕李姝菲，趙明.二階線性微分方程解的討論[J].吉林師范學院學報,1998(19):21-24.

〔5〕王奕挺,胡良根,張曉敏.常數變易法的探究式教學研究[J].高等數學研究,2015(18):7-9.

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1673-260X（2017）12-0007-02

2017-09-19

嘉興學院科研啟動項目（70515020）