初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾何圖形建模初探

羅健昌

【摘要】幾何作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，對于學(xué)生的圖形建模，實(shí)現(xiàn)知識的多元認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的形成，具有重要的意義.本文通過對初中數(shù)學(xué)幾何圖形建模的研究，對如何建模，建模后如何培養(yǎng)學(xué)生建模化的思維和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行探究.

【關(guān)鍵詞】圖形建模；思維能力；數(shù)學(xué)思想

圖形建模，就是建立幾何圖形模型的過程，包括對現(xiàn)實(shí)原型進(jìn)行提煉、抽象、簡化，以及確立、驗證、解釋、應(yīng)用和拓展的過程.幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，幾何中的直線、平面、球、圓錐等都是從現(xiàn)實(shí)原型中抽象出來的圖形模型.這種圖形建模，對學(xué)生知識元認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的形成，具有重要的意義.同時，它還是一種研究性學(xué)習(xí)方式，對學(xué)生的思維能力、應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)具有重要的意義.

一、把握圖形建模之“形”

圖形建模是內(nèi)隱的.教師應(yīng)該認(rèn)真研讀教材，不但研讀本課時的教學(xué)內(nèi)容，還要研讀與之相關(guān)的其他內(nèi)容，挖掘問題之外的暗線，深刻把握知識內(nèi)部的關(guān)聯(lián).在這基礎(chǔ)上深入了解已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之上幫助學(xué)生進(jìn)行知識體系的建構(gòu)，讓其知識鏈伸長、分支，建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識體系，把握數(shù)學(xué)圖形建模之“形”，讓學(xué)生學(xué)有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué).

1.圖形建模準(zhǔn)備.圖形建模的準(zhǔn)備在圖形建模的構(gòu)建過程中起著關(guān)鍵作用，這個過程可以通過情境引入或通過問題提出，讓學(xué)生從中得出一個幾何問題.如，在教學(xué)人教版八年級下冊“平行四邊形”時，問題：如圖1所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，已知∠A=∠B，求證：AD=BC.學(xué)生在遇到這樣的問題時，往往千頭萬緒，不知從何處入手解題.這時教師首先要引導(dǎo)學(xué)生從題目所給材料出發(fā)，尋找建立模型的突破口.模型準(zhǔn)備階段，應(yīng)盡可能為學(xué)生提供完整、真實(shí)的問題背景，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要.

2.圖形建模形成與驗證.這個過程教師要通過調(diào)動學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，引導(dǎo)他們經(jīng)過操作、質(zhì)疑、交流提出猜想、驗證猜想.以圖1提到的問題為例，教師可添加條件“CE∥AD”，那么從圖2中就能直接得到了一個平行四邊形和一個三角形，學(xué)生就很容易從這兩種圖形的性質(zhì)中得到結(jié)論.上述通過添加輔助線的方法，使問題化繁為簡，化抽象為直觀.并通過驗證，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)“輔助線”在證明中的強(qiáng)大作用，正確的圖形建模應(yīng)該是“作一條與一腰平行的直線，構(gòu)造出平行四邊形和等腰三角形”.

3.圖形建模求解與確立.這個階段要引導(dǎo)學(xué)生用分析、比較、概括等思維方法自主構(gòu)建模型，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，促進(jìn)知識的內(nèi)化.如，教學(xué)平行線的判定內(nèi)容，在學(xué)習(xí)了平行線的判定后，出示問題：

如圖3所示，當(dāng)∠1=∠3時，直線a，b平行嗎？說明理由.教師引導(dǎo)學(xué)生將條件與圖形進(jìn)行比較，綜合學(xué)生提出的多種思路（內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），并讓學(xué)生對這些思路進(jìn)行猜想、驗證，最后得出這三種證明方法都可證得這兩條直線平行.這樣一步一步就得到圖形建模的目的，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生理解圖形建模的思維方法.

二、領(lǐng)會圖形建模之“神”

教學(xué)的最終目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生自身的發(fā)展，圖形建模學(xué)習(xí)不應(yīng)止步于掌握圖形建模內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，而通過建模化過程的展開培養(yǎng)學(xué)生建模化的思維方式，進(jìn)行建模化的學(xué)習(xí)探究，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)思想方法.

（一）展開有圖形建模的思維

思維能力的培養(yǎng)是在具體的教學(xué)過程中潛移默化進(jìn)行的，教師應(yīng)該通過建模化的教學(xué)促成學(xué)生建模化思維方式的形成，培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式.

如，在教學(xué)“角的平分線的性質(zhì)”時，可以進(jìn)行這樣的建模化教學(xué)：

學(xué)生在認(rèn)識了角的平分線定義后，教師在平分線上點(diǎn)了一點(diǎn)，然后向角的兩邊隨意畫了兩條長度接近相等的線段，這兩條線段相等嗎？你是怎么看出來的？怎樣保證一定相等？（用尺子量度來畫）

你能畫出這樣相等的兩條線段嗎？（學(xué)生自己畫）

交流：你是怎樣畫的？（學(xué)生的畫法五花八門）

為什么說這樣畫就一定相等？如何才能排除誤差？

比較多種畫法，你覺得怎樣能很快畫出沒有爭議的兩條相等線段嗎？（畫垂線段）為什么？（垂線段的圖形中，會有一對直角，是恒等的，條件中的平分，以及公共邊，從而得到了兩個三角形全等，因此，所畫的兩條垂線段相等）

這樣教學(xué)使學(xué)生明白從角平分線上的任一點(diǎn)到兩邊的垂線段的長度是相等的.再結(jié)合已學(xué)過的知識“直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫作點(diǎn)到直線的距離”，就能得到角平分線的性質(zhì)（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí)過程學(xué)生一定不會再糾纏于點(diǎn)到兩邊的距離的問題了，更重要的是學(xué)生以后對于其他有關(guān)點(diǎn)到直線距離的問題一定能形成垂線段這樣的圖形建模思維.

（二）領(lǐng)悟圖形建模蘊(yùn)藏的思想方法

圖形建模應(yīng)該以理解為主的建構(gòu)過程.學(xué)生在對圖形建構(gòu)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對圖形建模的進(jìn)一步拓展、重塑，派生出新的圖形建模，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法.如得出“四邊形內(nèi)角和”的圖形建模后，教師可引導(dǎo)學(xué)生探索“五邊形”和“六邊形”的內(nèi)角和圖形建模，并由“五邊形的內(nèi)角和”的圖形建模和“六邊形的內(nèi)角和”派生出“多邊形的內(nèi)角和”的圖形建模.通過這樣的圖形建模，學(xué)生的化歸思想、歸納思想等數(shù)學(xué)思想自然得到培養(yǎng).

學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過完成圖形建模，由“形”到“神”，不但能學(xué)到了數(shù)學(xué)知識，而且能培養(yǎng)思維能力和數(shù)學(xué)思想方法.endprint