高等代數研究問題的基本方法與思路

呂宗彥

【摘要】高等代數是數學問題基本的解題工具，在理工科學中都有涉及高等代數求解問題，并且高等代數問題一般都有一定的抽象性和嚴謹的邏輯性，所涉及的概念理論復雜.本文就高等代數問題的基本方法和思路做出以下闡述.

【關鍵詞】高等代數；基本方法；思路

高等代數是理學專業重要的數學基礎課程之一，是對中學代數知識的繼續學習和進一步提高，因此，掌握好高等代數在構建數學知識體系有著重要的基礎作用.但是，由于高等代數研究問題非常注重公理化和嚴密的邏輯推理，從而使得高等代數問題比較抽象，給學習高等代數的學生帶來不少困難.本文就圍繞高等代數的基本概念結合高等代數內容實例對研究問題的基本方法與思路做出詳細的探究.

一、高等代數的基本概念

學好代數學的首要問題就是要掌握理解并且能夠熟練應用高等代數的基本概念.而代數學的基本概念多而雜，代數中涉及的基本概念有以下幾種內容：多項式；行列式；線性方程組；矩陣；二次型；線性空間及線性變換.

二、代數問題研究基本方法及思路

（一）根據定義進行研究

對研討的高等代數問題應當先給出準確明了的定義，根據定義利用嚴謹的邏輯推理，逐步推理出代數問題的性質、定理以及推論，最后總結相似問題的具體研究方法建立研討體系.

比如，在高等代數的線性方程組中，一開始就定義了線性方程組的一般形式和解的相關概念，并且給出了線性方程組的解法以及有解的充分必要條件，然后又深層次的探索了齊次線性方程組和非齊次線性方程組，并講解其解法以及解的結構.這就說明了高等代數研究問題需要在嚴謹的定義下做出嚴密的推導，所以嚴格的邏輯推理是研究高等代數問題不可或缺的素養.

（二）公理化方法

公理化方法在高等代數概念問題中占有重要作用，高等代數中公理是在用嚴謹的邏輯推理方法從多項式、方程組、函數、向量、排列式、矩陣等具體的數學對象中，從它們各自的算法中找出共有的數學運算規律，并將這些運算規律作為公理從而定義空間向量，同時推導出空間向量具有的性質和定理.

顯然，利用代數性質定理，對那些不能借助直觀具體的數學模型，雖然代數抽象化，但是它憑借嚴謹的代數性質定理使得問題的研究更加簡化并且富有邏輯性.

（三）結構化方法

在研究代數問題中，公理化方法往往不能反映代數系統中元素間的關系，不能了解代數學的總體狀況，而此時就需要一種新的探討代數問題的辦法結構化方法，它是建立在代數系統公理之上，為了探究代數系統中元素之間的關系，代數系統與子系統在結構上的差異和聯系而衍生出的代數問題研究方法.在高等代數中的向量空間，歐氏空間等都有用到結構化的解決辦法.例如，在向量空間中利用了向量定理以及加法與數乘的運算規律和性質，推算出并確定了向量間的線性關系，從而研究了向量組、空間向量，并探究向量子空間間的運算關系，通過引入同構映射給出了空間向量的對比方法和維數的分類方法.在歐式空間中也可以通過引入同構映射比較歐式空間的方式.

（四）矩陣表示方法

矩陣表示方法是現代高等代數中應用廣泛的數學方法，尤其在工程數學問題中，矩陣表示方法發揮了重要的數學工具角色.例如，對那些復雜的多元線性方程組，一般的常規表達不僅煩瑣，解題也不方便，而利用矩陣的增廣矩陣表示則簡潔明了很多.

在空間向量中，給一個n維的向量定下一個基，那么這個空間向量就能夠依據它的坐標用行矩陣或者列矩陣表達，并且矩陣表示法在空間向量的線性相關向量大都可以用矩陣表示，利用矩陣表示后，一些復雜的線性方程組問題便可以通過矩陣變換求解.從而，對于研究的一些復雜代數問題利用矩陣便簡便快速求解.

三、總 結

通過對高等代數研究問題解決的基本方法和思路的總結，不僅可以加深對高等代數問題的理解認識，從而提高對代數問題的分析、解決能力，更能提高在代數研究問題中的邏輯思維能力，對于高等代數研究問題的深入探討具有重要意義.

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