拋物線中的直角梯形

金鑫+費連花

解析幾何中拋物線的幾何性質在高考中得到了越來越多的關注，對于這部分幾何性質的解法，幾何法顯得更占優勢，而本文所有的題目均列出了幾何解法，例3和例4是本人對2016年全國卷20題的推廣及改編.

那么我們就先從一個大家熟悉的圖形開始，它是“上底加下底等于斜腰的直角梯形”.

一、圖形信息：BB′⊥A′B′，AA′⊥A′B′，|AA′|+|BB′|=|AB|，AB，A′B′中點為M，M′.AB線段上取F點滿足|AF|=|AA′|.結論如下：

（1）∠1=∠2，∠3=∠4.

（2）A′F∥BM′，M′A∥B′F.

在2016全國卷Ⅲ第20題的第一問應用了這條結論.

（3）BM′⊥AM′，以AB為直徑的圓與線段A′B′相切，切點為M′，BM′⊥B′F.

（4）B′F⊥A′F，以A′B′為直徑的圓與線段AB相切，切點為F.

（5）M′F⊥AB.

（6）|M′F|2=AF·BF=AA′·BB′，|A′B′|2=4AA′·BB′.

二、接下來我們在拋物線y2=2px（p>0）中找到這種直角梯形.通過拋物線定義我們很容易找到滿足上底加下底等于斜腰的直角梯形.分別為四邊形ABB′A′和四邊形AFOC.證明略.

上面向讀者指出了拋物線中的這種直角梯形的存在，那么關于它的結論在這里面既可以作為考題來考，也可直接為我們所用.

三、通過例1和例2的分析了解這種直角梯形在拋物線環境下涉及的問題與結論.

例1AB是一條焦點弦，AB的中點為M，作MM′與準線垂直，垂足為M′，設MM′與拋物線交于T點.求證T點是MM′中點.

分析由結論（5）可得M′F⊥AB，由拋物線定義可知|M′T|=|TF|，即可得到結論.

例2證明拋物線焦點弦的中垂線與x軸的交點到焦點的距離與焦點弦長的比是定值.

分析如上圖所示，通過對邊平行證明四邊形MM′FQ為平行四邊形，

得到|FQ|=|M′M|，再由2|MM′|=|AB|得到結果.

四、最后的兩個例題是本人對2016全國卷Ⅰ文科第20題第一問的推廣及改編.

例3在直角坐標系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交于y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p>0）于點P，在MP延長線上取點N，滿足MN=λMP，連接ON并延長交C于點H.求|OH||ON|.

解過點H作HG⊥y軸，G為垂足.

由結論（6）得：4|OM|·|OF|=|OG|2，4|MP|·|OF|=|OM|2.

兩式相除得：|OM||MP|=|OG||OM|2.

因為MN∥GH，

所以|OG||OM|=|GH||MN|=|OH||ON|，

所以|OM||MP|=|GH||MN|2，

即|MN||MP|=|GH||MN|.

因為MN=λMP，即|MN||MP|=λ，

所以|GH||MN|=|OH||ON|=λ.

例4在直角坐標系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交于y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p>0）于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交拋物線C于點H，連接PF交ON于點K，求證MK⊥ON.

證明設|OF|=a，|GH|=b.

由例3可知|MP|=|PN|=b4.

由拋物線定義可知

|PF|=a+b4.

因為△PNK∽△KOF，

所以|PK||PF|=|PN||PN|+|OF|，

所以|PK|=|PN|=|MP|，

即MK⊥ON.

巧解高中數學難題——以三角函數為例

巧解高中數學難題——以三角函數為例

◎劉天宇（山東省濟寧市金鄉縣第一中學高二（14）班，山東濟寧272000）

【摘要】三角函數是高中數學中最重要的一個組成部分，同時也是重要的基本函數之一，在實際的教學中不僅內容相當豐富，公式相當多，同時其考察的形式也比較靈活多變，因此在實際的教學中，往往學生很難對其進行有效的掌握，也正因為如此三角函數成了高中數學中教學的重點和難點.本文主要就如何利用三角函數巧解高中數學難題進行分析研究.

【關鍵詞】巧解；高中數學難題；三角函數；方式

三角函數是數學中常見的函數，在實際的教學中，三角函數對研究三角形以及圓等幾何形狀的性質有著極大的作用，同時還能夠利用三角函數進行周期性現象的研究[1].另外，在進行數學分析的過程中，三角函數同樣也是被定義為微分方程特定的解，由此就可以看出三角函數在數學教學中的重要意義.盡管三角函數的解題方式比較多樣化，不過其中仍然存在一定的規律，下面就具體對利用三角函數巧解高中數學難題進行分析.

一、使用三角函數巧解高中數學難題的方法

（一）定義法

使用定義法解題是最為原始和樸素的一種解題方式，使用三角函數的定義進行解題，能夠使題目的思路更加的簡單易行，并且能夠更好地讓人進行理解，比如，在以下題目的解答中：

求y=sinθcosθ+sinθ+cosθ的最值，在實際的解答中，首先需要根據三角函數的定義得出，sinθ=yr，cosθ=xr，同時x2+y2=r2，因此y=sinθcosθ+sinθ+cosθ=xyr2+yr+xr≤1r2×x2+y22+1r×2（x2+y2）=12+2，也就是當x=y，sinθ=cosθ時，取最大值.

在實際的解題中，雖然定義法只能針對一些簡單的題目進行處理，但是在解題的過程中如果能夠和其他的方式進行聯合應用，就能夠有效地降低解題的難度，最終實現對題目的有效解答.

（二）使用消參法進行解題

消參法就是透過題目的現象看到題目的實質，也就是在實際的問題處理中，根據題目給出的不同參數之間存在的聯系，利用相應的公式，實現對已有參數的轉化，從而使題目的解答更加簡便.關于消參法的應用，可以根據題目中上下文中相應的定理和公式進行靈活的運用，這樣就能達到利用三角函數解答數學難題的目的.

（三）構造法

構造法的應用主要是在原有函數式沒有滿足公式定理轉換條件的情況下，通過減少項或添加項等方式實現對函數的等效轉換，這樣就能達到簡化計算的目的，從而更方便地進行解題，比如，

已知tanα=3，求sinα-3cosα2sinα+cosα的值.

首先tanα=sinαcosα，含分母cosα，這種情況下就可以將原分式中的分子和分母中的各項使用cosα進行整除，形成tanα.

解：因為tanα=3推出α≠kπ+π2推出cosα≠0，

所以sinα-3cosα2sinα+cosα=sinαcosα-3cosαcosα2sinαcosα+cosαcosα=tanα-32tanα+1

=3-32-3+1=0.

二、結束語

綜上所述，在當前社會經濟不斷發展的過程中，教育事業得到了社會各界共同的重視，高中階段作為學生最重要的階段，其教學質量直接影響著未來學生的個人成長和發展.數學作為高中階段重要的一個科目，對學生的學習成績有著重要的影響，三角函數是高中數學中的重點，只有充分地認識到三角函數定義、理論以及相關的數學思維和方法，在實際的問題處理中，能夠綜合多種方式進行相關數學問題的解決，才能有效地提高數學的解題效率，簡化解題步驟.在實際的解題過程中，盡管三角函數能夠實現對一些簡單問題的解決，但是面對一些比較復雜的問題，就需要綜合多種方式，靈活地進行應用，這樣才能更好地實現對數學難題的解決，最終促進三角函數對高中數學難題的有效解決.

【參考文獻】

[1]鄧靖.巧妙利用化歸法解決高中數學三角函數題[J].讀寫算：教師版，2015（41）：113.

[2]王成.整體把握高中數學新課程中的三角函數與三角[J].新課程導學，2016（35）：94，100.endprint