把握本質，借“題”發揮，提高實效

王友春

高中數學的教與學離不開解題，但題不在多，而在于讓學生“學一題，觸一類，通一片”；“一個專心的、認真備課的教師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像一道門，把學生引入到一個完整的理論區域”（數學家波利亞）.教師在解題教學中，理應科學、合理地設計一系列問題，形成一個螺旋式上升的“問題串”，從本質上去引領學生探究、解決問題，培養學生的思維能力.本文筆者結合自己的一次教學實踐，通過對出現在函數題中含全稱、存在量詞的一系列問題（問題串）的分析、探究，以期提高學生的探究思維能力和課堂的教學實效，不妥之處敬請方家指教.

一、問題的引入

問題1已知函數f（x）=x-lnx，g（x）=x2-2ax，a∈R，命題“x∈[1，e]，f（x）≤g（x）成立”是真命題，則實數a的取值范圍是.

分析∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴對f（x）≤g（x）實行“分離變量”，轉化為利用導數求新函數的最值問題.

解∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴x∈[1，e]時，x-lnx+2ax-x2≤0，即a≤x2+lnx-x2x恒成立，設h（x）=x2+lnx-x2x（x∈[1，e]），則h′（x）=x2+1-lnx2x2，設k（x）=x2+1-lnx，由k′（x）=2x2-1x得：當x∈[1，e]時，k′（x）>0恒成立，∴k（x）在[1，e]上是增函數，而k（1）=1>0，∴h′（x）>0（x∈[1，e]），∴h（x）在[1，e]上也是增函數；∵hmin（x）=h（1）=1，∴a≤1.

評注1.對于含參數a的不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））恒成立問題，可以實施“分離變量”轉化為a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，進而使a≤hmin（x）（或a≥hmax（x））即可；也可以轉化為f（x）-g（x）≤0（或f（x）-g（x）≥0）恒成立，進而使[f（x）-g（x）]max≤0（或[f（x）-g（x）]min≥0）即可.

2.為了更好地培養學生的探究思維，由此題的分析和解決，筆者就以“問題1”為引例，“借”題發揮，設計了一系列問題，讓學生“學一題，觸一類，通一片”，努力使得本次課成為一次生動的習題探究課.

二、總結與反思

筆者設計的7個問題以問題1為源頭借“題”發揮，進行引申與拓展，給出了函數題中含全稱、存在量詞的命題的常見類型及其轉化方法，將復雜的問題簡潔有效地解決.探究的這些問題及其解法并不是孤立的，而是相互聯系和滲透的，這一“串”問題及其探究過程不僅是引領學生們去聯想、探索、探究出某類問題的內在規律，也是幫助學生掌握數學知識、培養數學能力、提升思維水平、形成數學品質的重要途徑和提高數學課堂效益的主要手段.

（一）善于借“題”發揮，自覺積累數學解題經驗

解題也是一種創新，作為數學的學習，積累一定的解題經驗和把握其中的方法和規律對以后解題的幫助是很大的，而善于借“題”發揮，編題變式訓練是解題經驗自覺積累的有效途徑.如在上述問題的探究后我們可以將其中的條件或結論適當變化，編設出一些新題，進而鞏固方法，辨析異同，提升能力.

波利亞曾形象地說“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆地成長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能就有幾個”.通過學生的編題變式訓練進行模仿求解，使其思維得到強化，理解更加深入，這是我們教學中應當倡導的.

（二）數學的方法和思維必須親歷方曉曲折和樂趣

在數學學習中，學生普遍存在“一學就懂、一考就懵”、“懂而不會”的現象，課上聽得懂，課后自己解“還是不會”；知道某類題可以這樣操作，但具體解決時錯誤百出，等等.因此，作為數學教學更需要充分發揮學生的主體作用，讓學生親歷解決或運算過程，增強運算的基本功和探究中的可行性分析和預判能力；更需要指導學生“明算理、優算法、重突破”；如上面的問題3和問題7，分類討論的思想學生都能想到，但為了優化問題的解決，可以引導學生采用“正難則反”的思想，其實也就是“求簡變通”的思想，并留時間讓學生親自操作，提高實效.

解題教學強調講題要講透，但“透”并非僅僅是分析到位、展示詳盡，更要讓學生們能達到“會一題、通一類”的效果，透過現象、抓住實質、把握規律，提升理性思維能力，這應該是高中數學教學的指導思想和根本目標.

（三）思考和反思能讓學生的學習更加投入和深入

所謂的解題反思實際上就是在一個問題解決后再進行如下的探索：本題的命題意圖是什么？本題考查了那些知識和能力？解題過程是否正確、合理？本題還有沒有其他的解法或者更優的解法？能否推廣本題的解法或結論，得到更具一般性的結論？這些反思有助于學生在原有基礎上的提高，進一步建構更高層次的認知.因此，在數學學習中要經常對所學知識和方法進行歸納總結，探尋突破口和規律；對比較典型的問題（如上面的問題）要留足時間讓學生認真審題，理解問題的本質；在問題探究中應盡可能地引領學生多方法、多角度地思考和發現問題.通過對典型問題的“一題多解、一題多變、多題同解”地訓練，既能促進學生深入理解知識，又能培養學生的思維能力，從中學到“等價轉化、數形結合”等基本的數學思想.

總之，在解題教學和學習中我們應該更多地關注解題分析，不僅關注如何獲得解答，更要對“解答”進一步分析而增強解題能力、優化知識結構，學會“數學地思考”.真正實現羅增儒先生倡導的“通過有限的典型例題的學習去領悟那種解無限道題的數學機智”.

【參考文獻】

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